Question

【題目】如圖（1），將兩塊直角三角尺的直角頂點疊放在一起，

（1）若，則______；若，則______；

（2）①猜想與的大小有何特殊關系，并說明理由；

②應用：當的余角的4倍等于時，則是______度

（3）拓展：如圖（2），若是兩個同樣的直角三角尺銳角的頂點重合在一起，則與的大小又有何關系，直接寫出結論不必證明．

Answer 1

【答案】（1），；（2）①猜想得（或與互補），理由見解析；②30；（3）

【解析】

（1）本題已知兩塊直角三角尺實際就是已知三角板的各個角的度數，根據角的和差就可以求出∠ACB，∠DCE的度數；
（2）①根據前兩個小問題的結論猜想∠ACB與∠DCE的大小關系，結合前兩問的解決思路得出證明；②根據①中的關系式以及的余角的4倍等于列出關于∠DCE的方程，求出∠DCE的度數，最后得出∠BCD的度數即可；
（3）根據（1）（2）解決思路確定∠DAB與∠CAE的大小并證明．

解：（1）∵∠ECB=90°，∠DCE=35°
∴∠DCB=90°-35°=55°
∵∠ACD=90°，
∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=145°．
∵∠ACB=140°，
∴∠DCB=∠ACB-∠ACD=140°-90°=50°．
∴∠DCE=∠ECB-∠DCB=90°-50°=40°，
故答案為：145°，40°
（2）①猜想得∠ACB+∠DCE=180°（或∠ACB與∠DCE互補）
理由：∵∠ECB=90°，∠ACD=90°
∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+∠DCB
∠DCE=∠ECB-∠DCB=90°-∠DCB
∴∠ACB+∠DCE=180°．

②根據題意得，4（90°-∠DCE）=∠ACB，又由①得，∠ACB=180°-∠DCE，

∴4（90°-∠DCE）=180°-∠DCE，解得∠DCE=60°．

∴∠BCD=90°-∠DCE=30°．

故答案為：30°；
（3）∠DAB+∠CAE=120°．理由如下：

由于∠DAB=∠DAE+∠CAE+∠CAB，
故∠DAB+∠CAE=∠DAE+∠CAE+∠CAB+∠CAE=∠DAC+∠BAE=120°．