Question

如圖，拋物線與x軸交于A（5,0）、B（-1,0）兩點，過點A作直線AC⊥x軸，交直線于點C；
（1）求該拋物線的解析式；
（2）求點A關于直線的對稱點的坐標，判定點是否在拋物線上，并說明理由；
（3）點P是拋物線上一動點，過點P作y軸的平行線，交線段于點M，是否存在這樣的點P，使四邊形PACM是平行四邊形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）拋物線的解析式為.
（2）點A^/的坐標為（﹣3,4），點A^/在該拋物線上，理由見解析.
（3）存在，當點P運動到時，四邊形PACM是平行四邊形.理由見解析.

解析試題分析：（1）把A（5,0）、B（-1,0）兩點代入二次函數解析式中，解方程組得到b、c的值，即可求得拋物線的解析式.
（2）過點作⊥x軸于E，AA^/與OC交于點D，可證得∽；再由相似三角形對應邊成比例，可以求得點A′的坐標.然后把點A的坐標代入拋物線的解析式，驗證點A′是否在拋物線上即可.
（3）存在.設直線的解析式為y=kx+b,將點C和點A′的坐標代入直線方程，即可得到直線的解析式為；設點P的坐標為，則點M為，要使四邊形PACM是平行四邊形,只需PM=AC.又點M在點P的上方，則有 ，解此方程即可得到
點P的坐標.
試題解析：（1）∵與x軸交于A（5,0）、B（-1,0）兩點，
∴，  解得
∴拋物線的解析式為.························································3分
（2）過點作⊥x軸于E，AA^/與OC交于點D，
∵點C在直線y=2x上，   ∴C（5，10）
∵點A和關于直線y=2x對稱，
∴OC⊥，=AD.
∵OA=5，AC=10,
∴.
∵,  ∴.∴.·············5分
在和Rt中，
∵∠+∠=90°，∠ACD+∠=90°，
∴∠=∠ACD.
又∵∠=∠OAC=90°，
∴∽.
∴即.
∴=4，AE=8.
∴OE=AE－OA=3.
∴點A^/的坐標為（﹣3,4）.·······························7分
當x=﹣3時，.
所以，點A^/在該拋物線上.································8分

存在.
理由：設直線的解析式為y=kx+b,
則，解得
∴直線的解析式為.··················9分
設點P的坐標為，則點M為.
∵PM∥AC，
∴要使四邊形PACM是平行四邊形,只需PM=AC.又點M在點P的上方，
∴.
解得（不合題意,舍去）當x=2時，.
∴當點P運動到時，四邊形PACM是平行四邊形.····················11分
考點：二次函數綜合題.