Question

【題目】探究與發現：如圖（1）所示的圖形，像我們常見的學習用品一圓規，我們，不妨把這樣圖形叫做“規形圖

（1）觀察“規形圖（1）”，試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的數量關系，并說明理由；

（2）請你直接利用以上結論，解決以下問題：

①如圖（2），把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經過點B、C，若∠A＝40°，則∠ABX+∠ACX＝　 　°．

②如圖（3），DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度數．

Answer 1

【答案】（1）∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C，理由見解析；（2）①50；②∠DCE＝85°．

【解析】

（1）首先連接AD并延長至點F，然后根據外角的性質，即可判斷出∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C；

（2）①由（1）可得∠A+∠ABX+∠ACX＝∠X，然后根據∠A＝40°，∠X＝90°，即可求解；

（3）②由∠A＝40°，∠DBE＝130°，求出∠ADE+∠AEB的值，然后根據∠DCE＝∠A+∠ADC+∠AEC，求出∠DCE的度數即可.

（1）如圖，∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C，理由是：

過點A、D作射線AF，

∵∠FDC＝∠DAC+∠C，∠BDF＝∠B+∠BAD，

∴∠FDC+∠BDF＝∠DAC+∠BAD+∠C+∠B，

即∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C；

（2）①如圖（2），∵∠X＝90°，

由（1）知：∠A+∠ABX+∠ACX＝∠X＝90°，

∵∠A＝40°，

∴∠ABX+∠ACX＝50°，

故答案為：50；

②如圖（3），∵∠A＝40°，∠DBE＝130°，

∴∠ADE+∠AEB＝130°﹣40°＝90°，

∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，

∴∠ADC＝∠ADB，∠AEC＝∠AEB，

∴∠ADC+∠AEC＝＝45°，

∴∠DCE＝∠A+∠ADC+∠AEC＝40°+45°＝85°．