Question

【題目】（1）計算：

1×2×3×4+1=________；

2×3×4×5+1=_______；

3×4×5×6+1=_______；

4×5×6×7+1=________；

（2）觀察上述計算的結果，指出他們的共同特性；

（3）以上特性，對于任意給出的四個連續自然數的積與1的和仍具備嗎？試證明你的猜想．

Answer 1

【答案】（1）25、121、361、841；（2）是一個完全平方數；（3）具備，證明見解析．

【解析】

（1）計算即可求解；
（2）根據結果可直接看出它們都是完全平方數；
（3）根據題意可得第n個等式應是n（n+1）（n+2）（n+3）+1=[n（n+3）+1]2=（n2+3n+1）2，再根據完全平方公式證明即可求解．

解：（1）1×2×3×4+1=25；
2×3×4×5+1=121；
3×4×5×6+1=361；
4×5×6×7+1=841；
（2），，，，所以都是完全平方數；
（3）具備，
證明：設四個自然數為n，n+1，n+2，n+3，

，

是一個完全平方數，所以具備同樣的性質．