Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，等腰Rt△AOB的斜邊OB在x軸上，直線y=3x-4經過等腰Rt△AOB的直角頂點A，交y軸于C點，雙曲線y=也經過A點．

（1）求點A的坐標和k的值；

（2）若點P為x軸上一動點．在雙曲線上是否存在一點Q，使得△PAQ是以點A為直角頂點的等腰三角形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）點A的坐標為（2，2），k=4；(2) 在雙曲線上存在一點Q（4，1），使得△PAQ是以點A為直角頂點的等腰三角形．

【解析】

試題分析：（1）過點A分別作AM⊥y軸于M點，AN⊥x軸于N點，根據直角三角形的性質可設點A的坐標為（a，a），因為點A在直線y=3x-4上，即把A點坐標代入解析式即可算出a的值，進而得到A點坐標，然后再利用待定系數法求出反比例函數解析式；

（2）如果過B作BQ⊥x軸交雙曲線于Q點，連接AQ，過A點作AP⊥AQ交x軸于P點．由ASA易證△AOP≌△ABQ，得出AP=AQ，那么△APQ是所求的等腰直角三角形．根據全等三角形的性質及函數圖象與點的坐標的關系得出結果．

試題解析：（1）過點A分別作AM⊥y軸于M點，AN⊥x軸于N點，

∵△AOB是等腰直角三角形，

∴AM=AN．

設點A的坐標為（a，a），

∵點A在直線y=3x-4上，

∴a=3a-4，

解得a=2，

則點A的坐標為（2，2），

∵雙曲線y=也經過A點，

∴k=4；

（2）假設雙曲線上存在一點Q，使得△PAQ是等腰直角三角形．

過B作BQ⊥x軸交雙曲線于Q點，連接AQ，過A點作AP⊥AQ交x軸于P點，

則△APQ為所求作的等腰直角三角形．

理由：在△AOP與△ABQ中，

∵∠OAB-∠PAB=∠PAQ-∠PAB，

∴∠OAP=∠BAQ，

在△AOP和△ABQ中

，

∴△AOP≌△ABQ（ASA），

∴AP=AQ，

∴△APQ是所求的等腰直角三角形．

∵B（4，0），

∴Q（4，1），

經檢驗，在雙曲線上存在一點Q（4，1），使得△PAQ是以點A為直角頂點的等腰三角形．