Question

如圖，矩形ABCO的對角線AC、OB交于點A₁，直線AC的解析式為y=

3

3

x+2，過點A₁作A₁O₁⊥OC于O₁，過點A₁作A₁B₁⊥BC于B₁，得到第二個矩形A₁B₁CO₁，A₁C、O₁B₁交于點A₂，過點A₂作A₂O₂⊥OC于O₂，過點A₂作A₂B₂⊥BC于B₂，得到第三個矩形A₂B₂CO₂，…，依此類推，這樣作的第n個矩形對角線交點A_n的坐標為

（（

1

2

）^n-1•

3

-2

3

，（

1

2

）^n-1）

．

Answer 1

分析：根據矩形的性質，以及相似三角形的判定方法，可以證得：△A_nCO_n∽△ACO，相似比是（

1

2

）ⁿ．即可求得AnOn，OO_n的長，從而求得點A_n的坐標．

解答：解：在y=

3

3

x+2中，令x=0解得：y=2；
令y=0，解得：x=-2

3

，
則OC=2

3

，OA=2．
∵A1是矩形ABCO的對角線的交點，OA1∥OA，
∴△A1CO1∽△ACO，相似比是

1

2

；
同理，△A₂CO₂∽△A₁CO₁，相似比是

1

2

；
則△A₂CO₂∽△ACO，相似比是

1

4

=（

1

2

）²，
同理：△A_nCO_n∽△ACO，相似比是（

1

2

）ⁿ．
∴

AnOn

OA

=

COn

OC

=（

1

2

）ⁿ．
∴AnOn=（

1

2

）ⁿ•OA=（

1

2

）ⁿ×2=（

1

2

）^n-1．
OC_n=（

1

2

）ⁿ×OC=（

1

2

）n×2

3

=（

1

2

）^n-1•

3

，OO_n=2

3

-（

1

2

）^n-1•

3

，
則點A_n的坐標為（（

1

2

）^n-1•

3

-2

3

，（

1

2

）^n-1）

點評：本題考查了矩形的性質以及相似三角形的判定與性質，正確理解：△A_nCO_n∽△ACO，相似比是（

1

2

）ⁿ是關鍵．