Question

如下圖，己知等邊三角形ABC，D是AC的中點，E為BC延長線上一點，且∠E=30°，DM⊥BC垂足為M．
（1）若DM=2，求DE的長；
（2）求證：M是BE的中點．

Answer 1

分析：（1）由題意可知△DME為直角三角形，且∠E=30°，利用30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可求出DE長為4；
（2）由D是等邊△ABC邊AC的中點可以得出∠DBC=30°=∠E，根據三線合一的性質，得出M是BE的中點．

解答：解：（1）∵DM⊥BE，∴∠DME=90°
在Rt△DME中，∠E=30°
∴DE=2DM=4（4分）

（2）證明：在等邊△ABC中，D是AC的中點
∴∠DBC=

1

2

∠ABC=30°（6分）
∴∠DBC=∠E
∴BD=DE（8分）
∵DM⊥BC
∴M是BE的中點（10分）

點評：第一問運用了直角三角形的性質，30°所對的直角邊是斜邊的一半；第二問考查了等邊三角形中三線合一的運用．