Question

已知拋物線y=x²-4x+m與x軸相交于A，B兩點（B點在A點的左邊），與y軸的負半軸相交于點C．
（1）求拋物線的對稱軸和頂點坐標（用數或含m的代數式表示）；
（2）若AB=6，求拋物線的解析式；
（3）在（2）的拋物線上是否存在點P，使△AOP≌△COP？如果存在，請確定點P的位置，并求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）拋物線的對稱軸為x=-

b

2a

，頂點坐標為（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）據此可求出對稱軸和拋物線的頂點坐標．
（2）當AB=6，以及（1）得出的拋物線的對稱軸即可確定出A、B的坐標，然后將A或B的坐標代入拋物線的解析式中即可求出拋物線的解析式．
（3）根據（2）的拋物線不難得出A點坐標為（5，0），C點坐標為（0，-5）．因此要想使△AOP≌△COP，兩三角形中已有了OA=OC、OP=OP，因此這兩組對應邊的夾角必相等，即∠AOP=∠COP，那么P點就是直線y=-x與拋物線的交點．聯立兩個函數式即可求出P點的坐標．

解答：解：（1）由題意拋物線的對稱軸為x=-

-4

2

=2；頂點坐標為（2，m-4）．

（2）根據AB=6，拋物線的對稱軸為x=2可得A、B兩點的坐標分別為：A（5，0）；B（-1，0）．
由于拋物線過A點，則有：0=25-20+m，m=-5．
因此拋物線的解析式為y=x²-4x-5．

（3）根據拋物線的解析式可知：C點的坐標為（0，-5）．
因此OC=OA=5，如果△AOP≌△COP，那么∠AOP=∠COP，P在二四象限的角平分線上即y=-x上，
由題意可知：

y=-x y=x2-4x-5

解得：

x1= 3+ 29 2 y1=- 3+ 29 2

，

x2= 3- 29 2 y2= 29 -3 2

因此存在這樣的P點，且P點的坐標為（

3+ 29

2

，-

3+ 29

2

）或（

3- 29

2

，

29 -3

2

）．

點評：本題主要考查了一次函數及二次函數解析式的確定、全等三角形的判定、函數圖象交點等知識及綜合應用知識、解決問題的能力．