Question

【題目】如圖，AF為⊙O的直徑，點B在AF的延長線上，BE切⊙O于點E，過點A作AC⊥BE，交BE的延長線交于點C，交⊙O交于點D，連接AE，EF，FD，DE．

（1）求證：EF＝ED．

（2）求證：DFAF＝2AEEF．

（3）若AE＝4，DE＝2，求sin∠DFA的值．

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）見詳解；（3）．

【解析】

（1）連接OE交DF于H，根據切線的性質得到OE⊥BC，求得OE∥AC，根據平行線的性質得到OE⊥DF，于是得到結論；

（2）根據等腰三角形的性質得到∠EFD＝∠EDF＝∠OEA＝∠OAE，根據相似三角形的性質得到OADF＝AEEF，于是得到結論；

（3）根據圓周角定理得到∠AEF＝∠ADF＝90°，由勾股定理得到AF＝＝10，AD＝＝＝6，根據三角函數的定義即可得到結論．

（1）證明：連接OE交DF于H，

∵BE切⊙O于點E，

∴OE⊥BC，

∵AC⊥BE，

∴OE∥AC，

∵AF為⊙O的直徑，

∴AD⊥DF，

∵OE⊥DF，

∴，

∴EF＝DE；

（2）證明：∵EF＝ED，OA＝OE，

∴∠EFD＝∠EDF，∠OEA＝∠OAE，

∵∠EDF＝∠EAO，

∴∠EFD＝∠EDF＝∠OEA＝∠OAE，

∴△DEF∽△AOE，

∴＝，

∴OADF＝AEEF，

∵OA＝AF，

∴AFDF＝AEEF，

∴DFAF＝2AEEF；

（3）解：∵AF為⊙O的直徑，

∴∠AEF＝∠ADF＝90°，

∵AE＝4，DE＝EF＝2，

∴AF＝＝10，

∵DFAF＝2AEEF，

∴10DF＝2×，

∴DF＝8，

∴AD＝＝＝6，

∴sin∠DFA＝＝＝．