Question

【題目】如圖①，在中，平分（），為上一點，且于點.

（1）當，時，求的度數；

（2）若，，請結合（1）的計算猜想、、之間的數量關系，直接寫出答案，不說明理由；（用含有、的式子表示）

（3）如圖②，當點在的延長線上時，其余條件不變，則（2）中的結論還成立嗎？若成立，請說明為什么；若不成立，請寫出成立的結論，并說明為什么.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）成立. ，理由見解析.

【解析】

（1）根據三角形的內角和定理求出∠BAC，再根據角平分線的定義求出∠BAE，然后根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和列式計算即可得解；

（2）根據三角形的內角和定理和角平分線的定義表示出∠BAE，再根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和表示出∠AEC，然后根據直角三角形兩銳角互余列式整理即可得解；

（3）結論仍然成立．根據（2）可以得到∠AEC=90°+（∠B-∠C），根據對頂角相等即可求得∠DEF，然后利用直角三角形的兩個銳角互余即可求解．

（1）∵，（已知）

（三角形的內角和等于）

∴（等量代換）

∵平分（已知）

∴（角平分線的定義）

∴（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和）

，即.

∵于點（已知）

∴（垂直的定義）

∴（直角三角形的兩個銳角互余）

∴（等量代換）

（2）

（3）成立.

理由：∵，（已知）

（三角形的內角和等于）

∴（等量代換）

∵平分（已知）

∴（角平分線的定義）

∴（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和）

∴（對頂角相等）

∵于點（已知）

∴（垂直的定義）

∴（直角三角形的兩個銳角互余 ）

∴（等量代換）