Question

（本題滿分18分，第1小題滿分6分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分）
已知函數，如果存在給定的實數對（），使得恒成立，則稱為“S-函數”.
（1）判斷函數是否是“S-函數”；
（2）若是一個“S-函數”，求出所有滿足條件的有序實數對；
（3）若定義域為的函數是“S-函數”，且存在滿足條件的有序實數對和，當時，的值域為，求當時函數的值域.

Answer 1

(1)是
(2) 滿足是一個“S-函數”的常數（a, b）=
(3) 解析:
解：（1）若是“S-函數”，則存在常數，使得 (a+x)(a-x)=b.
即x2=a2-b時，對xÎR恒成立.而x2=a2-b最多有兩個解，矛盾，
因此不是“S-函數”.………………………………………………3分
若是“S-函數”，則存在常數a,b使得，
即存在常數對（a, 32a）滿足.
因此是“S-函數”………………………………………………………6分
（2）是一個“S-函數”，設有序實數對（a, b）滿足:
則tan(a-x)tan(a+x)=b恒成立.
當a=時，tan(a-x)tan(a+x)= -cot2(x)，不是常數.……………………7分
因此，,
則有.
即恒成立. ……………………………9分
即,
當,時，tan(a-x)tan(a+x)=cot2(a)=1.
因此滿足是一個“S-函數”的常數（a, b）=.…12分
(3) 函數是“S-函數”，且存在滿足條件的有序實數對和，
于是
即,
 ，.……………………14分
.………16分
                  
因此, …………………………………………17分

綜上可知當時函數的值域為.……………18分