Question

【題目】如圖，四邊形是矩形

(1)如圖1，、分別是、上的點，，垂足為，連接．

①求證：；

②若為的中點，求證：；

(2)如圖2，將矩形沿折疊，點落在點處，點落在邊的點處，連接交于點，是的中點.若，，直接寫出的最小值為 ．

Answer 1

【答案】(1) ①見解析；②見解析；(2)

【解析】

（1）①證明△FBC∽△ECD可得結論．

②想辦法證明∠AEB＝∠AGB，可得sin∠AGB＝sin∠AEB＝．

（2）如圖2中，取AB的中點T，連接PT，CP．因為四邊形MNSR與四邊形MNBA關于MN對稱，T是AB中點，Q是SR中點，所以PT＝PQ，MN垂直平分線段BS，推出BP＝PS，由∠BCS＝90°，推出PC＝PS＝PB，推出PQ+PS＝PT+PC，當T，P，C共線時，PQ+PS的值最小．

（1）①證明：如圖1中，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠CDE＝∥BCF＝90°，

∵BF⊥CE，

∴∠BGC＝90°，

∴∠BCG+∠FBC＝∠BCG+∠ECD＝90°，

∴∠FBC＝∠ECD，

∴△FBC∽△ECD，

∴．

②證明：如圖1中，連接BE，GD．

∵BF⊥CE，EG＝CG，

∴BF垂直平分線段EC，

∴BE＝CB，∠EBG＝∠CBG，

∵DG＝CG，

∴∠CDG＝∠GCD，

∵∠ADG+∠CDG＝90°，∠BCG+∠ECD＝90°，

∴∠ADG＝∠BCG，

∵AD＝BC，

∴△ADG≌△BCG（SAS），

∴∠DAG＝∠CBG，

∴∠DAG＝∠EBG，

∴∠AEB＝∠AGB，

∴sin∠AGB＝sin∠AEB＝

（2）如圖2中，取AB的中點T，連接PT，CP．

∵四邊形MNSR與四邊形MNBA關于MN對稱，T是AB中點，Q是SR中點，

∴PT＝PQ，MN垂直平分線段BS，

∴BP＝PS，

∵∠BCS＝90°，

∴PC＝PS＝PB，

∴PQ+PS＝PT+PC，

當T，P，C共線時，PQ+PS的值最小，最小值＝，

∴PQ+PS的最小值為．