Question

如圖，已知二次函數y=ax²-4x+c的圖象與x軸交于點A（-1，0）、點C，與y軸交于點B（0，-5）．
（1）求該二次函數的解析式；
（2）已知該函數圖象的對稱軸上存在一點P，使得△ABP的周長最小．請求出點P的坐標，并求出△ABP周長的最小值；
（3）在線段AC上是否存在點E，使以C、P、E為頂點的三角形與三角形ABC相似？若存在寫出所有點E的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）根據題意，得

0=a×(-1)2-4×(-1)+c -5=a×02-4××0+c

，
解得

a=1 c=-5

，
故二次函數的表達式為y=x²-4x-5；

（2）令y=0，得二次函數y=x²-4x-5的圖象與x軸
的另一個交點坐標C（5，0）．
由于P是對稱軸x=2上一點，
連接AB，由于AB=

OA2+BO2

=

26

，
要使△ABP的周長最小，只要PA+PB最�。�
由于點A與點C關于對稱軸x=2對稱，連接BC交對稱軸于點P，
則PA+PB=BP+PC=BC，根據兩點之間，線段最短，可得PA+PB的最小值為BC．
因而BC與對稱軸x=2的交點P就是所求的點．
設直線BC的解析式為y=kx+b，根據題意，可得：

b=-5 0=5k+b

，
解得

k=1 b=-5

，
所以直線BC的解析式為y=x-5．
因此直線BC與對稱軸x=2的交點坐標是方程組的解，
解得

x=2 y=-3

，
所求的點P的坐標為（2，-3）．

（3）存在．
∵A（-1，0），C（5，0），
∴AC=6，
∵P（2，-3），C（5，0），
∴PC=3

2

，
∵B（0，-5），C（5，0），
∴BC=5

2

，
當△PEC∽△ABC，
∴

EC

BC

=

PC

AC

，
∴

EC

5 2

=

3 2

6

，
解得：EC=5，
∴E（0，0）；
當△EPC∽△ABC，
∴

EC

AC

=

PC

BC

，
∴

EC

6

=

3 2

5 2

，
解得：EC=3.6，
∴OE=5-3.6=1.4，
故E點坐標為：（1.4，0），
綜上所述：以C、P、E為頂點的三角形與三角形ABC相似，點E的坐標為：（0，0），（1.4，0）．