Question

如圖，在矩形ABCD中，對角線AC的長為10，且AB、BC（AB＞BC）的長是關于x的方程x²+2（1-m）x+6m=0的兩個根．
（1）求m的值；
（2）若E是AB上的一點，CF⊥DE于F，求BE為何值時，△CEF的面積是△CED的面積的

1

3

，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知AB、BC（AB＞BC）的長是關于x的方程x²+2（1-m）x+6m=0的兩個根，根據根與系數的關系得到一個關于m的一元二次方程，解此方程可得m的值．
（2）當△CEF的面積是△CED的面積的

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3

時，必須滿足DE=3EF，又△EAD∽△DFC，根據三角形相似的性質可得到一個關于BE的一元二次方程，解此方程可得BE的值．

解答：解：（1）已知AB、BC（AB＞BC）的長是關于x的方程x²+2（1-m）x+6m=0的兩個根，根據根與系數的關系得到：
∴AB+BC=2m-2，AB•BC=6m，
∴AB²+BC²=（2m-2）²-2AB•BC=4m²-20m+4，
而AB²+BC²=AC²=10²，
∴4m²-20m+4=10²，
整理得：m²-5m-24=0，
解得：m=8或m=-3（不合題意，舍去）；

（2）解：∵AB∥DC，
∴∠AED=∠FDC，
又∵∠EAD=∠DFC=90°，
∴△EAD∽△DFC
∴

AE

FD

=

DE

CD

，
又DE=3EF，
∴DE：DF=3：2，
∴DF=

2

3

DE，
可得AE=

DF•DE

CD

=

2DE2

3CD

，
將m=8代入方程x²+2（1-m）x+6m=0
∴x²+2（1-8）x+6×8=0
∴x²-14x+48=0，
解得：x=6或8，
即AB=CD=8，AD=BC=6，
設AE=y，根據勾股定理得：DE²=AD²+AE²=36+y²，
∴y=

2DE2

3CD

=

2

3

×

36+y2

8

，
即y²-12y+36=0，
解得y=6，
故BE=2．
即BE=2時△CEF的面積是△CED的面積的

1

3

．

點評：本題主要考查三角形相似的判定與性質，也融合了勾股定理和根與系數的關系．