Question

【題目】關于x的一元二次方程4x2+4（m﹣1）x+m2=0

（1）當m在什么范圍取值時，方程有兩個實數根？

（2）設方程有兩個實數根x1 ， x2 ， 問m為何值時，x12+x22=17？

（3）若方程有兩個實數根x1，x2， 問x1和x2能否同號？若能同號，請求出相應m的取值范圍；若不能同號，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）m=﹣4（3）m≠0，且m≤

【解析】

（1）根據根的判別式，列出不等式求解即可；

(2)根據根與系數的關系得出x1+x2=1﹣m，x1x2=代入方程求解;

(3) 根據當m≤時，方程有兩個實數根，由（2）知，x1x2=，

＞0，可得m的取值范圍.

（1）∵當△=[4（m﹣1）]2﹣4×4m2=﹣8m+4≥0時，方程有兩個實數根，

即m≤，

∴當m≤時，方程有兩個實數根；

（2）根據根與系數關系得：x1+x2=﹣=1﹣m，x1x2=，

∵x12+x22=17，

∴（x1+x2）2﹣2x1x2=17，

∴（1﹣m）2﹣=17

解得：m1=8，m2=﹣4，

∵當m≤時，方程有兩個實數根，

∴m=﹣4；

（3）∵由（1）知當m≤時，方程有兩個實數根，由（2）知，x1x2=，

∴＞0，

∴當m≠0，且m≤時，x1和x2能同號，

即m的取值范圍是：m≠0，且m≤．