Question

【題目】已知P是⊙O外的一點,OP=4,OP交⊙O于點A,且A是OP的中點,Q是⊙O上任意一點．

(1)如圖1,若PQ是⊙O的切線,求∠QOP的大小；

(2)如圖2,若∠QOP=90°,求PQ被⊙O截得的弦QB的長．

Answer 1

【答案】(1) ∠QOP=60°； (2) QB=．

【解析】

（1）先利用切線的性質得到OQ⊥PQ，然后利用銳角三角函數值的定義求∠QOP的大小；

（2）利用垂徑定理，作OD⊥BQ于D，如圖2，則QD=BD，先利用勾股定理計算出PQ，再證明Rt△QOD∽Rt△QPO，利用相似比計算出QD，從而得到BQ的長．

(1)如圖1，∵PQ是⊙O的切線，∴OQ⊥PQ，∵A是OP的中點，∴OP=2OA，

在Rt△OPQ中，cos∠QOP==，∴∠QOP=60°；

(2)作OD⊥BQ于D，如圖2，則QD=BD，∵∠QOP=90°，OP=4，OQ=2，∴PQ=2，

∵∠OQD=∠PQO，∴Rt△QOD∽Rt△QPO，∴QD：OQ=OQ：QP，即QD：2=2：2，

∴QD=，∴QB=2QD=．