Question

鄰邊不相等的矩形紙片，剪去一個正方形，余下一個四邊形，稱為第一次操作；在余下的四邊形中減去一個正方形，又余下一個四邊形，稱為第二次操作；…，以此類推，若第n次操作后余下的四邊形是正方形，則稱原矩形是n階矩形．如圖1，矩形ABCD中，若AB=1，AD=2，則矩形ABCD是1階矩形．
探究：（1）兩邊分別是2和3的矩形是

2

階矩形；
（2）小聰為了剪去一個正方形，進行如下的操作：如圖2，把矩形ABCD沿著BE折疊（點E在AD上），使點A落在BC的點F處，得到四邊形ABFE．請證明四邊形ABFE是正方形．
（3）操作、計算：
①已知矩形的兩邊分別是2，a（a＞2），而且它是3階矩形，請畫出此矩形及裁剪線的示意圖，并在示意圖下方直接寫出a的值；
②已知矩形的兩鄰邊長為a，b，（a＞b），且滿足a=5b+m，b=4m．請直接寫出矩形是幾階矩形．

Answer 1

分析：（1）通過操作畫圖可以得出第一次應該減去是一個邊長為2的正方形，就剩下一個長為2寬為1的矩形，再進行第二次操作減去一個邊長為1的正方形則余下的就是一個邊長為1正方形，故得出結論2階矩形；
（2）由折紙可以得出AB=BF，AE=FE，從而得出△AEB≌△FEB，就可以得出AE=FE，∠BFE=∠A=90°，就有四邊形ABFE是矩形，就有矩形ABFE為正方形；
（3）①由n階矩形的意義通過畫圖就可以求出a的值；
②先由條件可以表示出a=21m，然后通過操作畫出圖形就可以求出結論．

解答：解：（1）由題意，得，第一次操作應該減去一個邊長為2的正方形，
∴就剩下一個長為2寬為1的矩形，再進行第二次操作減去一個邊長為1的正方形則余下的就是一個邊長為1正方形．
∴共操作2次．
∴這個矩形是2階矩形．
故答案為：2；

（2）∵△AEB與△FEB關于直線BE成軸對稱，
∴△AEB≌△FEB，
∴AE=FE，∠BFE=∠A．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABF=90°，
∴∠A=∠ABF=∠BFE=90°，
∴四邊形ABFE為矩形．
∵AE=FE，
∴矩形ABFE為正方形；

（3）①由題意，得
如圖1，

∴a的值=8，

∴a的值=5．
∴a的值為8或5；
②由題意，得
∵a=5b+m，b=4m，
∴a=21m，
如圖

∴是8階矩形．

點評：本題考查了矩形的性質和正方形的性質的運用，軸對稱的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，分類討論思想在幾何題目中的運用，解答時根據題意正確畫出圖形是關鍵．