Question

【題目】某商家計劃從廠家采購空調和冰箱兩種產品共臺，空調和冰箱的采購單價與銷售單價如表所示：

	采購單價	銷售單價
空調
冰箱

若采購空調臺，且所采購的空調和冰箱全部售完，求商家的利潤；

廠家有規定，采購空調的數量不少于臺，且空調采購單價不低于元，問商家采購空調多少臺時總利潤最大？并求最大利潤．

Answer 1

【答案】（1）9840元；（2）商家采購空調臺時，獲得的總利潤最大，最大利潤為元．

【解析】

（1）當采購空調12臺時，冰箱采購8臺，根據“總利潤=單臺冰箱利潤×冰箱采購數量+單臺空調利潤×空調采購數量”列式計算，即可得出結論；
（2）設空調的采購數量為x臺，則冰箱的采購數量為（20-x）臺，設總利潤為W（元），根據“采購空調的數量不少于10臺，且空調采購單價不低于1200元”即可得出關于x的一元一次方程組，解方程組即可得出x的取值范圍，再結合二次函數的性質即可解決最值問題．

（1）采購空調12臺，則采購冰箱20-12=8臺．
所售空調利潤=[1760-（-20×12+1500）]×12=6000（元），
所售冰箱利潤=[1700-（-10×8+1300）]×8=3840（元），
∴總利潤=6000+3840=9840（元）．
（2）設空調的采購數量為x臺，則冰箱的采購數量為（20-x）臺，設總利潤為W（元），
根據題意得： ，

解得：10≤x≤15．
W=1760x-（-20x+1500）x+1700（20-x）-[-10（20-x）+1300]（20-x）=30x2-540x+12000=30（x-9）2+9570，
∵30＞0，
∴當x＞9時，W隨著x的增大而增大，
∵10≤x≤15，
∴當x=15時，W取最大值，最大值=30×（15-9）2+9570=10650（元）．
答：商家采購空調15臺時，獲得的總利潤最大，最大利潤為10650元．