Question

【題目】如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，點E、F在BD上，OE＝OF．

（1）求證：AE＝CF．

（2）若AB＝2，∠AOD＝120°，求矩形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）4

【解析】

（1）由矩形的性質得出OA=OC，OB=OD，AC=BD，∠ABC=90°，證出OE=OF，由SAS證明△AOE≌△COF，即可得出AE=CF；

（2）證出△AOB是等邊三角形，得出OA=AB=2，AC=2OA=4，在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC= =，即可得出矩形ABCD的面積．

(1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴OA＝OC，

在△AOE和△COF中，

，

∴△AOE≌△COF（SAS），

∴AE＝CF；

（2）解：∠AOD＝120°，

所以，∠AOB＝60°，

∵OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，

∴OA＝OB，

∴△AOB是等邊三角形，

∴OA＝AB＝2，

∴AC＝2OA＝4，

在Rt△ABC中，BC＝，

∴矩形ABCD的面積＝ABBC＝2×2＝4．