Question

【題目】已知：在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝12，四邊形EFGH的三個頂點E、F、H分別在矩形ABCD邊AB、BC、DA上，AE＝2．

（1）如圖①，當四邊形EFGH為正方形時，求△GFC的面積；

（2）如圖②，當四邊形EFGH為菱形，且BF＝a時，求△GFC的面積（用a表示）；

（3）在（2）的條件下，△GFC的面積能否等于2？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）10；（2）12－a；（3）不能

【解析】解：（1）過點G作GM⊥BC于M．在正方形EFGH中，

∠HEF＝90°，EH＝EF，

∴∠AEH＋∠BEF＝90°．

∵∠AEH＋∠AHE＝90°，

∴∠AHE＝∠BEF．

又∵∠A＝∠B＝90°，

∴△AHE≌△BEF．

同理可證△MFG≌△BEF．

∴GM＝BF＝AE＝2．∴FC＝BC－BF＝10．

∴．

（2）過點G作GM⊥BC交BC的延長線于M，連接HF．

∵AD∥BC，∴∠AHF＝∠MFH．

∵EH∥FG，∴∠EHF＝∠GFH．

∴∠AHE＝∠MFG．

又∵∠A＝∠GMF＝90°，EH＝GF，

∴△AHE≌△MFG．∴GM＝AE＝2．

∴．

（3）△GFC的面積不能等于2．

說明一：∵若S△GFC＝2，則12－a＝2，∴a＝10．

此時，在△BEF中，

．

在△AHE中，

，

∴AH＞AD，即點H已經不在邊AD上，故不可能有S△GFC＝2．

說明二：△GFC的面積不能等于2．∵點H在AD上，

∴菱形邊EH的最大值為，∴BF的最大值為．

又∵函數S△GFC＝12－a的值隨著a的增大而減小，

∴S△GFC的最小值為．

又∵，∴△GFC的面積不能等于2．