Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，平分，交于點，平分，交于點，與交于點，連接，.

（1）求證：四邊形是菱形；

（2）若，，，求的值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】（1）先根據平行四邊形性質以及角平分線性質，可得：AF//BE，∠AEB=∠BAE，∠AFB=∠ABF.根據等腰三角形性質可得：AB=BE，AF=AB.根據“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”證得四邊形ABEF是平行四邊形，再根據“一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形”證得平行四邊形ABEF是菱形.

（2）作PH⊥AD于H.根據角的正切值的定義得tan∠ADP= .根據菱形的性質，利用特殊角的三角函數，求得AH、PH長度，再根據HD=ADAH，即可得出tan∠ADP的值.

證明：(1)∵AE平分∠BAD BF平分∠ABC

∴∠BAE=∠EAF ∠ABF=∠EBF

∵AD//BC

∴∠EAF=∠AEB ∠AFB=∠EBF

∴∠BAE=∠AEB ∠AFB=∠ABF

∴AB=BE AB=AF

∴AF=AB=BE

∵AD//BC

∴ABEF為平行四邊形

又AB=BE

∴ABEF為菱形

（2）如圖所示，作PH⊥AD于H.

∵四邊形ABEF是菱形，且∠ABC=60°，

∴△ABE為等邊三角形，

∴∠FAE=60°，AE=AB=4，

則AP=AE=2

在Rt△APH中，由三角函數得：

PH=APsin60°=3 ，

AH=APcos60°=1，

∴HD=ADAH=5,

因此tan∠ADP= =