Question

【題目】拋物線的頂點在直線上，過點F的直線與拋物線交于M、N兩點（點M在點N的左邊），MA⊥軸于點A，NB⊥軸于點B．

（1）先通過配方求拋物線的頂點坐標（坐標可用含的代數式表示），再求的值；

（2）設點N的橫坐標為，試用含的代數式表示點N的縱坐標，并說明NF＝NB；

（3）若射線NM交軸于點P，且PA×PB＝，求點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）頂點坐標為（－2 , ），=2；（2）N（a，）；（3）M（－3 ,）．

【解析】

試題分析：（1）利用配方法將二次函數整理成頂點式即可，再利用點在直線上的性質得出答案即可；

（2）首先利用點N在拋物線上，得出N點坐標，再利用勾股定理得出NF2=NC2+FC2，進而得出NF2=NB2，即可得出答案；

（3）求點M的坐標，需要先求出直線PF的解析式．首先由（2）的思路得出MF=MA，然后連接AF、FB，通過證明△PFA∽△PBF，利用相關的比例線段將PAPB的值轉化為PF的值，進而求出點F的坐標和直線PF的解析式，即可得解．

試題解析：（1）

∴頂點坐標為（－2 , ）

∵頂點在直線上，

∴－2+3=，

得=2

（2）∵點N在拋物線上，

∴點N的縱坐標為

即點N（a，）

過點F作FC⊥NB于點C，

在Rt△FCN中，FC=+2，NC=NB-CB=,

∴

而=＝

∴＝，NF=NB

（3）連結AF、BF

由NF=NB，得∠NFB=∠NBF，

由（2）的結論知，MF=MA，∴∠MAF=∠MFA,

∵MA⊥x軸，NB⊥x軸，∴MA∥NB,∴∠AMF+∠BNF=180°

∵△MAF和△NFB的內角總和為360°,

∴2∠MAF+2span>∠NBF=180°，∠MAF+∠NBF=90°

∵∠MAB+∠NBA=180°，

∴∠FBA+∠FAB=90°

又∵∠FAB+∠MAF=90°

∴∠FBA=∠MAF=∠MFA

又∵∠FPA=∠BPF，

∴△PFA∽△PBF，

∴

過點F作FG⊥軸于點G,在Rt△PFG中，PG==，

∴PO=PG+GO=，

∴P（－ , 0）

設直線PF：y=kx+b把點F（－2 , 2）、點P（－, 0）代入y=kx+b

解得=，=，

∴直線PF：

解方程，得=－3或=2（不合題意，舍去）

當=－3時，=，

∴M（－3 ,）