Question

讓我們一起來探索平面直角坐標系中平行四邊形的頂點的坐標之間的關系．
第一步：數軸上兩點連線的中點表示的數．自己畫一個數軸，如果點A、B分別表示-2、4，則線段AB的中點M表示的數是

1

． 再試幾個，我們發現：數軸上連接兩點的線段的中點所表示的數是這兩點所表示數的平均數．
第二步；平面直角坐標系中兩點連線的中點的坐標（如圖①）為便于探索，我們在第一象限內取兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），取線段AB的中點M，分別作A、B到x軸的垂線段AE、BF，取EF的中點N，則MN是梯形AEFB的中位線，故MN⊥x軸，利用第一步的結論及梯形中位線的性質，我們可以得到點M的坐標是（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

 ）（用x₁，y₁，x₂，y₂表示），AEFB是矩形時也可以．我們的結論是：平面直角坐標系中連接兩點的線段的中點的橫（縱）坐標等于這兩點的橫（縱）坐標的平均數．
第三步：平面直角坐標系中平行四邊形的頂點坐標之間的關系（如圖②）在平面直角坐標系中畫一個平行四邊形ABCD，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），則其對角線交點Q的坐標可以表示為Q（

x1+x3

2

，

y1+y3

2

），也可以表示為Q（

x2+x4

2

，

y2+y4

2

 ），經過比較，我們可以分別得出關于x₁，x₂，x₃，x₄及，y₁，y₂，y₃，y₄的兩個等式是

x₁+x₃=x₂+x₄

和

y₁+y₃=y₂+y₄

． 我們的結論是：平面直角坐標系中平行四邊形的對角頂點的橫（縱）坐標的

和相等

．

Answer 1

分析：畫出數軸即可求出第一步；先求出N是EF中點，求出N的橫坐標，根據梯形的中位線性質求出縱坐標即可；根據平行四邊形性質推出Q是AC和BD的中點，根據以上結論即可求出答案．

解答：解：第一步：故答案為：1，如圖：．

解：∵MN是梯形AEFB的中位線，AE∥BF，
∴E、F的橫坐標分別是x₁，x₂，
由第一步得出：N和M的橫坐標是：

x1+x2

2

，MN=

AE+BF

2

=

y1+y2

2

，即是M的縱坐標，
故答案為：M(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)．

解：與第二步解法類似，根據平行四邊形的性質得出QA=QC，QB=QD，推出：（

x1+x3

2

，

y1+y3

2

）或Q(

x2+x4

2

，

y2+y4

2

)，
故答案為：（

x1+x3

2

，

y1+y3

2

），（

x2+x4

2

，

y2+y4

2

）．
解：由第三步推出x₁+x₃=x₂+x₄    y₁+y₃=y₂+y₄，
故答案為：x₁+x₃=x₂+x₄    y₁+y₃=y₂+y₄，和相等．

點評：本題考查了平行四邊形性質，梯形的中位線性質，點的坐標的應用，解此題的關鍵是得出規律，能通過作題培養學生分析問題和解決問題的能力，同時也培養了學生的理解能力和觀察問題的能力，題型較好．