Question

【題目】已知：如圖，在△OAB中，OA=OB，⊙O經過AB的中點C，與OB交于點D，且與BO的延長線交于點E，連接EC，CD．

（1）試判斷AB與⊙O的位置關系，并加以證明；

（2）若tanE=，⊙O的半徑為3，求OA的長．

Answer 1

【答案】（1）AB與⊙O的位置關系是相切，證明見解析；（2）OA=5．

【解析】

（1）先判斷AB與⊙O的位置關系，然后根據等腰三角形的性質即可解答本題；

（2）根據題三角形的相似可以求得BD的長，從而可以得到OA的長．

解：（1）AB與⊙O的位置關系是相切，

證明：如圖，連接OC．

∵OA=OB，C為AB的中點，

∴OC⊥AB．

∴AB是⊙O的切線；

（2）∵ED是直徑，

∴∠ECD=90°．

∴∠E+∠ODC=90°．

又∵∠BCD+∠OCD=90°，∠OCD=∠ODC，

∴∠BCD=∠E．

又∵∠CBD=∠EBC，

∴△BCD∽△BEC．

∴.

∴BC2=BDBE．

∵，

∴．

∴．

設BD=x，則BC=2x．

又BC2=BDBE，

∴（2x）2=x（x+6）．

解得x1=0，x2=2．

∵BD=x＞0，

∴BD=2．

∴OA=OB=BD+OD=2+3=5．