Question

【題目】如圖，且點在線段上，連接．

（1）如圖1，若求線段的長；

（2）如圖1，若求證：

（3）如圖2，在第(2)問的條件下，若點在的延長線上時，連接的面積為的面積為的面積為．直接寫出之間的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）線段AB的長為6；（2）見解析；（3）c+a=2b．

【解析】

（1）通過“SAS”可證△ACD≌△BCE，由此可得BE＝AD＝4，結合AE＝2即可得解；

（2）在AD上取一點H，使得AH＝AE，先證△ACH≌△ACE，可得CH＝CE，進而可證CH＝CD，利用三線合一可得DH＝2DF，最后根據AD＝DH＋AH等量代換即可得證；

（3）過點C作CG⊥AB于點G，同理可證△ACD≌△BCE，進而得BE＝AD，∠CAD＝∠B＝45°，∠D＝∠CEB，證得CF∥AB便可證得S△AEC＝S△AEF＝a，再證△CFD≌△CGE可得S△CGE＝S△CFD＝b，

根據三線合一可得AG＝BG便可得S△BCG＝S△BCG，進而得解．

（1）證明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，

∴∠ACE＋∠ECB＝∠ACE＋∠DCA，

∴∠ECB＝∠DCA，

在△ACD與△BCE中，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴BE＝AD，

∵AD＝4，

∴BE＝4，

又∵AE＝2，

∴AB＝AE＋BE＝6，

∴線段AB的長為6；

（2）證明：如圖，在AD上取一點H，使得AH＝AE，連接CH，

∵AC＝BC，∠ACB＝90°，

∴∠B＝∠CAB＝45°，

∵△ACD≌△BCE，

∴∠CAD＝∠B＝45°，BE＝AD，

在△ACH與△ACE中，

∴△ACH≌△ACE（SAS），

∴CH＝CE，

∵CD＝CE，

∴CH＝CD，

又∵CF⊥AD，

∴DF＝FH，

∴DH＝2DF，

∵AD＝DH＋AH，

∴BE＝2DF＋AE；

（3）解：如圖，過點C作CG⊥AB于點G，

∵∠ACB＝∠DCE＝90°，

∴∠ACE＋∠ACB＝∠ACE＋∠DCE，

∴∠ECB＝∠DCA，

在△ACD與△BCE中，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴BE＝AD，∠CAD＝∠B＝45°，∠D＝∠CEB，

∴∠BAD＝∠CAD＋∠CAB＝90°，

又∵CF⊥AD，

∴CF∥AB，

∴S△AEC＝S△AEF＝a，

∵△ACD≌△BCE，

∴S△ACD＝S△BCE，

∴CF⊥AD，CG⊥AB，

∴∠CFD＝∠CGE＝90°，

在△CFD與△CGE中，

∴△CFD≌△CGE（AAS），

∴S△CGE＝S△CFD＝b，

∴S△CGA＝S△CGE－S△AEC＝b－a，

∵S△BCE＝c，

∴S△BCG＝S△BCE－S△CGE＝c－b，

∵AC＝BC，CG⊥AB，

∴AG＝BG，

∴S△BCG＝S△BCG，

∴c－b＝b－a，

即：c＋a＝2b．