Question

【題目】如圖，已知點C是AB上一點，△ACM、△CBN都是等邊三角形。

（1）△ACN≌△MCB嗎？為什么？

（2）證明：CE=CF；

（3）若△CBN繞著點C旋轉一定的角度（如圖2），則上述2個結論還成立嗎？

（4）若AN、MB相交于O，則∠AOB度數有沒變化？若沒有變化，則∠AOB= ．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）△ACN≌△MCB成立，CE=CF不成立；（4）120°.

【解析】

（1）根據等邊三角形性質得出AC=CM，CN=CB，∠ACM=∠BCN=60°，求出∠ACN=∠BCM，根據SAS證出△ACN≌△MCB即可；

（2）因為∠ACB=180°，∠ACM=∠BCN=60°，所以∠MCN=∠BCN，又因為△ACN≌△MCB，所以∠ABM=∠ANC，則可根據ASA判定△CEN≌△CFB，即CE=CF；

（3）由（1）的條件不變，即可證明△ACN≌△MCB成立；由于證明△CEN≌△CFB的條件不夠，則CE=CF不成立；

（4）由三角形的外角性質，∠AOB=∠ONB+∠OBN，然后由∠ABM=∠ANC，則∠AOB=∠CNB+∠CBN=120°，即可.

解：（1）∵△ACM與△CBN為等邊三角形，

∴∠ACM=∠BCN=60°，AC=MC，BC=NC，

∴∠ACN=∠MCB

∴△ACN≌△MCB（SAS）

（2）∵∠ACB=180°，∠ACM=∠BCN=60°，

∴∠MCN=∠BCN=60°，

∵△ACN≌△MCB，

∴∠ABM=∠ANC，

∵∠MCN=∠BCN，BC=CN，∠ABM=∠ANC，

∴△CEN≌△CFB（ASA），

∴CE=CF

（3）△ACN≌△MCB成立，CE=CF不成立．（答對一個得一分）

因為所有條件都沒有發生改變，即

由∠ACM=∠BCN=60°，AC=MC，BC=NC，

∴∠ACN=∠MCB

∴△ACN≌△MCB（SAS）；

因為證明△CEN≌△CFB的條件不夠，

則CE=CF不成立；

（4）∠AOB度數沒有發生改變，∠AOB =120°；

如上圖，由三角形的外角性質，

∴∠AOB=∠ONB+∠OBN，

∵∠ABM=∠ANC，

又∠ONB=∠ANC+∠CNB，∠OBN=∠CBN-∠ABM，

∴∠AOB=∠CNB+∠CBN=120°，

故答案為：120°