Question

（2013•雅安）如圖，AB是⊙O的直徑，BC為⊙O的切線，D為⊙O上的一點，CD=CB，延長CD交BA的延長線于點E．
（1）求證：CD為⊙O的切線；
（2）若BD的弦心距OF=1，∠ABD=30°，求圖中陰影部分的面積．（結果保留π）

Answer 1

分析：（1）首先連接OD，由BC是⊙O的切線，可得∠ABC=90°，又由CD=CB，OB=OD，易證得∠ODC=∠ABC=90°，即可證得CD為⊙O的切線；
（2）在Rt△OBF中，∠ABD=30°，OF=1，可求得BD的長，∠BOD的度數，又由S_陰影=S_扇形OBD-S_△BOD，即可求得答案．

解答：（1）證明：連接OD，
∵BC是⊙O的切線，
∴∠ABC=90°，
∵CD=CB，
∴∠CBD=∠CDB，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠ODC=∠ABC=90°，
即OD⊥CD，
∵點D在⊙O上，
∴CD為⊙O的切線；

（2）解：在Rt△OBF中，
∵∠ABD=30°，OF=1，
∴∠BOF=60°，OB=2，BF=

3

，
∵OF⊥BD，
∴BD=2BF=2

3

，∠BOD=2∠BOF=120°，
∴S_陰影=S_扇形OBD-S_△BOD=

120π×22

360

-

1

2

×2

3

×1=

4

3

π-

3

．

點評：此題考查了切線的判定與性質、垂徑定理以及扇形的面積．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．