Question

【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，頂點(diǎn)為A（h，k）（h≠0）．

（1）當(dāng)h=1，k=2時(shí)，求拋物線的解析式；
（2）若拋物線y=tx2（t≠0）也經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，過(guò)a與t之間的關(guān)系式；
（3）在（2）的條件下，已知a=﹣ ，直線l：y= x﹣1與拋物線y=tx2﹣ x﹣7交于點(diǎn)B，C，與x軸，y軸交于點(diǎn)D，E，點(diǎn)M在拋物線y=tx2﹣ x﹣7上，且點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m（0＜m＜6）．MF∥y軸交于直線l于點(diǎn)F，點(diǎn)N在直線l上，且四邊形MNFQ為矩形（如圖），若矩形MNFQ的周長(zhǎng)為P，求P的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵由題意可知拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），

∴可設(shè)拋物線解析式為y=a（x﹣1）2+2，

∵拋物線過(guò)原點(diǎn)，

∴0=a（0﹣1）2+2，解得a=﹣2，

∴拋物線解析式為y=﹣2（x﹣1）2+2；

（2）解：∵拋物線y=tx2（t≠0）也經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，

∴k=th2，

∴y=a（x﹣h）2+k=a（x﹣h）2+th2，

∵當(dāng)x=0時(shí)y=0，

∴0=ah2+th2，

∵h(yuǎn)≠0，

∴a+t=0，即a=﹣t；

（3）解：由（2）可知a=﹣t，
∴當(dāng)a=-時(shí)，t= ，
∴M（m， m2-m-7），F(xiàn)（m，m﹣1），
∴FM=（m﹣1）﹣（m2﹣m﹣7）=﹣m2+2m+6，
又在y= x﹣1中，
當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣1，y=0時(shí)，x=，
∴OD=，OE=1，
∴DE==，
∵M(jìn)F∥y軸，
∴∠DEO=∠MFN，
在矩形MNFQ中，NF=MF·cos∠MFN=MF·=MF，
MN=MF·sin∠MFN=MF·=MF，
∴P=2（MN+NF）=MF=（﹣m2+2m+6）=- m2+ m+=﹣（m﹣2）2+ ，
∵0＜m＜6，﹣＜0，
∴當(dāng)m=2時(shí)，P取最大值，最大值為 ．

【解析】（1）由題可知拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），依此可設(shè)拋物線解析式為y=a（x﹣1）2+2，又拋物線過(guò)原點(diǎn)，從而得出拋物線解析式.

（2）將A點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線y=tx2（t≠0），再將（0，0）代入y=a（x﹣h）2+k，由此即可得出即a=﹣t.
（3）由（2）知a=﹣t，由題意知M（m， m2-m-7），F(xiàn)（m，m﹣1），從而得FM=﹣m2+2m+6；根據(jù)已知條件得OD=，OE=1，
根據(jù)勾股定理得DE=，由平行線性質(zhì)得∠DEO=∠MFN；在矩形MNFQ中，由銳角三角函數(shù)定義得NF=MF，MN=MF，從而得出P=2（MN+NF）=﹣（m﹣2）2+ ，根據(jù)二次函數(shù)得性質(zhì)和自變量的取值范圍0＜m＜6得當(dāng)m=2時(shí)，Pmin= ．

【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的勾股定理的概念和矩形的性質(zhì)，需要了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；矩形的四個(gè)角都是直角，矩形的對(duì)角線相等才能得出正確答案．