Question

【題目】如圖，頂點為A（，1）的拋物線經過坐標原點O，與x軸交于點B．

（1）求拋物線對應的二次函數的表達式；

（2）過B作OA的平行線交y軸于點C，交拋物線于點D，求證：△OCD≌△OAB；

（3）在x軸上找一點P，使得△PCD的周長最小，求出P點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x；（2）見解析；（3）點P的坐標為（﹣，0）

【解析】試題分析：（1）用待定系數法求出拋物線解析式，（2）先求出直線OA對應的一次函數的表達式為y=x．再求出直線BD的表達式為y=x﹣2．最后求出交點坐標C，D即可；

（3）先判斷出C'D與x軸的交點即為點P，它使得△PCD的周長最小．作輔助線判斷出△C'PO∽△C'DQ即可．

試題解析：解：（1）∵拋物線頂點為A（，1），設拋物線解析式為y=a（x﹣）2+1，將原點坐標（0，0）在拋物線上，∴0=a（）2+1

∴a=﹣，∴拋物線的表達式為：y=﹣x2+x．

（2）令y=0，得 0=﹣x2+x，∴x=0（舍），或x=2

∴B點坐標為：（2，0），設直線OA的表達式為y=kx．∵A（，1）在直線OA上，∴k=1，∴k=，∴直線OA對應的一次函數的表達式為y=x．

∵BD∥AO，設直線BD對應的一次函數的表達式為y=x+b．∵B（2，0）在直線BD上，∴0=×2+b，∴b=﹣2，∴直線BD的表達式為y=x﹣2．

由

得交點D的坐標為（﹣，﹣3），令x=0得，y=﹣2，∴C點的坐標為（0，﹣2），由勾股定理，得：OA=2=OC，AB=2=CD，OB=2=OD．

在△OAB與△OCD中， ，∴△OAB≌△OCD．

（3）點C關于x軸的對稱點C'的坐標為（0，2），∴C'D與x軸的交點即為點P，它使得△PCD的周長最小．

過點D作DQ⊥y，垂足為Q，∴PO∥DQ，∴△C'PO∽△C'DQ，∴，∴，∴PO=，∴點P的坐標為（﹣，0）．