Question

如圖，AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長BD到點C，使DC=BD，連接AC交⊙O于點F．
（1）AB與AC的大小有什么關系？為什么？
（2）按角的大小分類，請你判斷△ABC屬于哪一類三角形，并說明理由．

小明按下面的方法作出了∠MON的平分線：
①反向延長射線OM；
②以點O為圓心，任意長為半徑作圓，分別交∠MON的兩邊于點A、B，交射線OM的反向延長線于點C；
③連接CB；
④以O為頂點，OA為一邊作∠AOP=∠OCB．
（1）根據上述作圖，射線OP是∠MON的平分線嗎？并說明理由．
（2）若過點A作⊙O的切線交射線OP于點F，連接AB交OP于點E，當∠MON=60°、OF=10時，求AE的長．

Answer 1

分析：1．（1）連接AD，通過AD是BC的垂直平分線得出AB=AC．
（2）由于AD⊥BC很明顯∠B，∠C都是銳角，那么同理如果連接BF，那么∠BAC也應是銳角，因此三角形ABC是銳角三角形．
2．（1）OP是角平分線，根據圓周角定理可得出∠ACB是∠AOB的一半，而∠AOF=∠OCB，那么就能得出∠AOF=∠BOF，由此可得證．
（2）由于三角形OAB是等邊三角形，因此只要求出半徑的長就求出了AB的長，也就知道了AE的值，那么在直角三角形OAF中，有OF的長，有∠AOF=30°，那么可求出OA的長，從而得到了AB，AE的長．

解答：解：（1）連接AD．
∵AB是⊙O的直徑，
∴AD⊥BC，
∵BD=CD，
∴AB=AC；

（2）連接AD．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°．
∴∠B＜∠ADB=90°
∠C＜∠ADB=90°
∴∠B、∠C為銳角，
∵AC和⊙O交于點F，連接BF，
∴∠A＜∠BFC=90°
∴△ABC為銳角三角形；

①∵∠AOF=∠OCB
又∵∠BOA=2∠OCB
∴∠AOF=∠BOF
∴OP為∠BOA的角平分線

②∵∠MON=60°
∴△AOB為正三角形
∵OP平分∠MON
∴AE=BE=

1

2

AB
∵OP平分∠BOD
∴∠BOF=30°
又∵AF與⊙O相切
∴AF⊥AO
∵AO=5

3

∴AB=AO=5

3

∴AE=

5 3

2

．

點評：本題主要考查了切線的性質，圓周角定理，等腰三角形、等邊三角形的性質等知識的綜合運用能力．