Question

【題目】如圖，已知等腰三角形ABC的底角為30°，以BC為直徑的⊙O與底邊AB交于點D，過點D作DE⊥AC，垂足為E．

（1）證明：DE為⊙O的切線；

（2）連接DC，若BC＝4，求弧DC與弦DC所圍成的圖形的面積．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）連接OD，由平行線的判定定理可得OD∥AC，利用平行線的性質得∠ODE=∠DEA=90°，可得DE為⊙O的切線；
（2）連接CD，求弧DC與弦DC所圍成的圖形的面積利用扇形DOC面積-三角形DOC的面積計算即可．

解：

（1）證明：連接OD，

∵OD＝OB，

∴∠ODB＝∠B，

∵AC＝BC，

∴∠A＝∠B，

∴∠ODB＝∠A，

∴OD∥AC，

∴∠ODE＝∠DEA＝90°，

∴DE為⊙O的切線；

（2）連接CD，

∵∠A＝30°，AC＝BC，

∴∠BCA＝120°，

∵BC為直徑，

∴∠ADC＝90°，

∴CD⊥AB，

∴∠BCD＝60°，

∵OD＝OC，

∴∠DOC＝60°，

∴△DOC是等邊三角形，

∵BC＝4，

∴OC＝DC＝2，

∴S△DOC＝DC×＝，

∴弧DC與弦DC所圍成的圖形的面積＝﹣＝﹣．