Question

用配方法可以解一元二次方程，還可以用它來(lái)解決很多問(wèn)題．
例如：因?yàn)?a²≥0，所以3a²+1就有最小值1，即3a²+1≥1，只有當(dāng)a=0時(shí)，才能得到這個(gè)式子的最小值1．同樣，因?yàn)?3a²≤0，所以-3a²+1有最大值1，即-3a²+1≤1，只有在a=0時(shí)，才能得到這個(gè)式子的最大值1；同樣對(duì)于2x²+4x+3=2（x²+2x）+3=2（x²+2x+1）+3-2=2（x+1）²+1，當(dāng)x=-1時(shí)代數(shù)式2x²+4x+3有最小值1．
（1）填空：a．當(dāng)x=______時(shí)，代數(shù)式（x-1）²+3 有最______（填寫(xiě)大或小）值為_(kāi)_____．
b．當(dāng)x=______時(shí)，代數(shù)式-2x²+4x+3有最______（填寫(xiě)大或小）值為_(kāi)_____．
（2）運(yùn)用：
a．證明：不論x為何值，代數(shù)式3x²-6x+4的值恒大于0；
b．矩形花園的一面靠墻，另外三面的柵欄所圍成的總長(zhǎng)度是8m，當(dāng)花園與墻相鄰的邊長(zhǎng)為多少時(shí)，花園的面積最大？最大面積是多少？

Answer 1

解：（1）∵（x-1）²≥0，
∴當(dāng)x=1時(shí)，代數(shù)式（x-1）²+3有最小值為3；
代數(shù)式-2x²+4x+3=-2（x²-2x+1）+5=-2（x-1）²+5，
當(dāng)x=1時(shí)，（x-1）²≥0，故代數(shù)式-2x²+4x+3有最大值為5；
故答案為：（1）1；小；3；1；大；5；
（2）a、證明：∵（x-1）²≥0，
∴3x²-6x+4=3（x²-2x+1）+1=3（x-1）²+1≥1＞0，
則不論x為何值，代數(shù)式3x²-6x+4的值恒大于0；
b、設(shè)當(dāng)花園與墻相鄰的邊長(zhǎng)為xm，則平行于墻的邊長(zhǎng)為（8-2x）m，
∴矩形花園的面積S=x（8-2x）=-2x²+8x=-2（x²-4x+4）+8=-2（x-2）²+8，
當(dāng)x-2=0，即x=2時(shí)，（x-2）²=0，此時(shí)S取得最大值8，
則當(dāng)當(dāng)花園與墻相鄰的邊長(zhǎng)為2m，矩形花園面積最大，最大面積為8m²．
分析：（1）由完全平方式的最小值為0，得到x=1時(shí)代數(shù)式（x-1）²+3有最小值為3；同理將代數(shù)式-2x²+4x+3前兩項(xiàng)提取-2，配方后，即可得到代數(shù)式取得最大值時(shí)x的值，及最大值；
（2）a、將代數(shù)式前兩項(xiàng)提取3，配方后，根據(jù)完全平方式大于等于0，求出代數(shù)式的最小值為1，恒大于0，得證；
b、設(shè)當(dāng)花園與墻相鄰的邊長(zhǎng)為xm，由總長(zhǎng)度為8m，表示出平行于墻的邊長(zhǎng)，利用矩形的面積等于長(zhǎng)乘以寬表示出面積，整理后配方，利用完全平方式大于等于0，求出面積最大時(shí)x的值及此時(shí)的面積即可．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了配方法的應(yīng)用，弄清題意，靈活運(yùn)用完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．