Question

【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°，AC=3，BC=4，點E，F分別在邊BC，AC上，沿EF所在的直線折疊∠C，使點C的對應點D恰好落在邊AB上，若△EFC和△ABC相似，則AD的長為___.

Answer 1

【答案】

【解析】

△CEF與△ABC相似，分兩種情況：①若CF：CE=3：4，此時EF∥AB，CD為AB邊上的高；②若CE：CF=3：4，由相似三角形角之間的關系，可以推出∠B=∠ECD與∠A=∠FCD，從而得到CD=AD=BD，即D點為AB的中點．

若△CEF與△ABC相似，分兩種情況：

①若CF：CE=3：4，
∵AC：BC=3：4，
∴CF：CE=AC：BC，
∴EF∥AB．
連接CD，如圖1所示：

由折疊性質可知，CD⊥EF，

∴CD⊥AB，即此時CD為AB邊上的高。

在Rt△ABC中,∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，

∴AB= =5，

∴cosA=，

∴AD=ACcosA=3×；

②若CE：CF=3：4，
∵AC：BC=3：4，∠C=∠C，

∵△CEF∽△CAB，

∴∠CEF=∠A．
連接CD，如圖2所示：

由折疊性質可知,∠CEF+∠ECD=90°，

又∵∠A+∠B=90°，

∴∠B=∠ECD，
∴BD=CD．
同理可得：∠A=∠FCD，AD=CD，

∴D點為AB的中點，

∴AD=；

故答案為：