Question

（2002•揚州）如圖，在平面直角坐標系中，以點A（-1，0）為圓心，AO為半徑的圓交x軸負半軸于另一點B，點F在⊙A上，過點F的切線交y軸正半軸于點E，交x軸正半軸于點C，已知CF=．
（1）求點C的坐標；
（2）求證：AE∥BF；
（3）延長BF交y軸于點D，求點D的坐標及直線BD的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為以點A（-1，0）為圓心，AO為半徑的圓交x軸負半軸于另一點B，點F在⊙A上，過點F的切線交y軸正半軸于點E，交x軸正半軸于點C，可連接AF，由切線的性質可得∠AFC=90°，因為CF=，由勾股定理可求AC===3，進而求出C的坐標；
（2）根據OA⊥OD，AO是半徑，可得OD是⊙A的切線，因為EF是⊙A的切線，所以EF=EO，進而可證△AFE≌△AOE，
得∠EAC=∠FAE=∠FAO，因為∠B=∠FAO，所以∠B=∠EAC，AE∥BF．
（3）可作FM⊥BC于M，利用直角三角形的面積可求FM==，利用勾股定理可求MC==，進而求出OM=MC-OC，寫出F的坐標即可；
因為延長BF交y軸于點D，已知B、F的坐標，所以可設BF為y=kx+b，利用待定系數法求出直線BD的解析式為y=x+，令x=0，求出y的值，即可求出D的坐標．
解答：（1）解：因為以點A（-1，0）為圓心，AO為半徑的圓交x軸負半軸于另一點B，點F在⊙A上，過點F的切線交y軸正半軸于點E，交x軸正半軸于點C，連接AF．
所以OA=AB=AF=1，∠AFC=90°，
因為CF=，由勾股定理得AC===3．
所以OC=3-1=2，
所以C（2，0）．

（2）證明：∵OA⊥OD，AO是半徑，
∴OD是⊙A的切線．
∵EF是⊙A的切線，
∴EF=EO
∵AE=AE，AF=AO，
∴△AFE≌△AOE．
∴∠EAC=∠FAE=∠FAO，
∵∠B=∠FAO，
∴∠B=∠EAC．
∴AE∥BF．

（3）解：作FM⊥BC于M，因為FM==，MC==，OM=MC-OC=
∴F（-，）．
設BF為y=kx+b，
則
解之，得．
所以直線BD的解析式為y=x+．
令x=0，則y=，所以D（0，）．
點評：本題需綜合利用待定系數法、勾股定理、圓的切線來解決問題．