Question

本題為選做題，從甲、乙兩題中選做一題即可，如果兩題都做，只以甲題計分．
選做題：甲：已知關于x的一元二次方程x²-（2m+1）x+m²+m-2=0
（1）求證：不論m取何值，方程總有兩個不相等的實數根；
（2）若方程的兩個實數根x₁、x₂滿足+=1+，求m的值．
乙：如圖，點D是⊙O的直徑CA延長線上一點，點B在⊙O上，且AB=AD=AO．
（1）求證：BD是⊙O的切線．
（2）若點E是劣弧BC上一點，AE與BC相交于點F，且△BEF的面積為8，cos∠BFA=，求△ACF的面積．

Answer 1

【答案】分析：甲題：（1）先計算出△=9，然后根據△的意義即可得到結論；（2）根據根與系數的關系得到x₁+x₂=2m+1，x₁•x₂=m²+m-2=0，然后變形已知條件+==，再把x₁+x₂=2m+1，x₁•x₂=m²+m-2=0整體代入得到關于m的方程，解方程即可（要檢驗）．
乙題：易證得△ACF∽△BEF，根據相似三角形的性質得到S_△BEF：S_△ACF=BF²：AF²，由AC是⊙O的直徑得到∠ABC=90°，再根據三角函數的定義得到cos∠BFA=，由△BEF的面積為8即可求出△ACF的面積．
解答：甲題
（1）證明：∵△=（2m+1）²-4（m²+m-2）=9，
∴△＞0，
∴不論m取何值，方程總有兩個不相等的實數根；

（2）∵x₁+x₂=2m+1，x₁•x₂=m²+m-2，
∴+==，
∴=，
∴m²=4，解得m=2或m=-2，
又∵m+2≠0，
∴m=2．

乙題：
（1）證明：連接BO，如圖，
∵AB=AD=AO，
∴△ODB是直角三角形
∴∠OBD=90°，即BD⊥BO，
∴BD是⊙O的切線；

（2）解：∵∠C=∠E，∠CAF=∠EBF，
∴△ACF∽△BEF，
又∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ABC=90°，
在Rt△BFA中，cos∠BFA=，
∴，
又∵S_△BEF=8
∴S_△ACF=18．
點評：甲題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）根的判別式與根與系數的關系：若△=b²-4ac＞0，則方程有兩個不相等的實數根；如果方程有兩個實數根x₁、x₂，則x₁+x₂=-，x₁•x₂=．
乙題考查了切線的判定定理：過半徑的外端點與半徑垂直的直線是圓的切線．也考查了三角形相似的判定與性質、圓周角定理以及三角函數的定義．