Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是矩形，AB=6，BC=8，點E在線段AD上，把△ABE沿直線BE翻折，點A落在點A′，EA′的延長線交BC于點F，

（1）如圖（1），求證：FE=FB；

（2）當點E在邊AD上移動時，點A′的位置也隨之變化，

①當點A′恰好落在線段BD上時，如圖（2），求AE的長；

②在運動變化過程中，設AE=x，CF=y，求y與x的函數關系式，試判斷EF能否平分矩形ABCD的面積？若能，求出x的值；若不能，則說明理由；

（3）當點E在邊AD上運動時，點D與點A′之間的距離也隨之變化，請直接寫出點D與點A′之間距離的變化范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）①3；②不存在EF平分矩形ABCD的面積；（3）4≤A′D≤8

【解析】

試題分析：（1）證明∠AEB=∠A′EB，∠AEB=∠EBF，得到∠A′EB=∠EBF，證明結論；

（2）①根據相似三角形的判定證明△DA′E∽△DAB，得到成比例線段，代入已知的值，求出AE的長；

②根據勾股定理，得到y與x的關系式；假設EF能平分矩形ABCD的面積，進行計算，然后判斷即可；

（3）根據當A′在BD上時，A′D最小，當E與A重合時，A′D最大，確定點D與點A′之間距離的變化范圍．

（1）證明：∵△A′BE由△ABE翻折而得∴∠AEB=∠A′EB，

∵四邊形ABCD為矩形，

∴AD∥BC，

∴∠AEB=∠EBF，

∴∠A′EB=∠EBF，

∴FE=FB．

（2）解：①由（1）得：∠EA′D=90°，A′E=AE，

設AE=x，則A′E=x，ED=8﹣x，

在△DA′E與△DAB中，

∠A′DE=∠ADB，∠DA′E=∠A=90°，

∴△DA′E∽△DAB，

∴=，

在R t△ABD中，∵AB=6，AD=8，

∴BD=10，

∴=，

解得，x=3，

∴AE=3．

②在Rt△A′BF中，BF=8﹣y，

則A′F=8﹣y﹣x，又A′B=6，

由勾股定理得：62+（8﹣y﹣x）2=（8﹣y）2，

即y=8﹣﹣．

當EF能平分矩形ABCD的面積時，y=x，

則x=8﹣﹣，

整理得：3x2﹣16x+36=0，

∵﹣162﹣4×3×36＜0，

∴方程無解，

∴不存在EF平分矩形ABCD的面積．

（3）解：由題意得，當A′在BD上時，A′D最小，

由①得，A′E=AE=3，DE=8﹣3=5，

由勾股定理，A′D=4，

即A′D最小值為4，

當E與A重合時，A′D最大為8，

∴4≤A′D≤8．