Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=7.5，AC=9，S△ABC=．動點P從A點出發，沿AB方向以每秒5個單位長度的速度向B點勻速運動，動點Q從C點同時出發，以相同的速度沿CA方向向A點勻速運動，當點P運動到B點時，P、Q兩點同時停止運動，以PQ為邊作正△PQM（P、Q、M按逆時針排序），以QC為邊在AC上方作正△QCN，設點P運動時間為t秒．

（1）求cosA的值；

（2）當△PQM與△QCN的面積滿足S△PQM=S△QCN時，求t的值；

（3）當t為何值時，△PQM的某個頂點（Q點除外）落在△QCN的邊上．

Answer 1

【答案】（1）coaA=；（2）當t=時，滿足S△PQM=S△QCN；（3）當t=s或s時，△PQM的某個頂點（Q點除外）落在△QCN的邊上．

【解析】（1）如圖1中，作BE⊥AC于E．利用三角形的面積公式求出BE，利用勾股定理求出AE即可解決問題；

（2）如圖2中，作PH⊥AC于H．利用S△PQM=S△QCN構建方程即可解決問題；

（3）分兩種情形①如圖3中，當點M落在QN上時，作PH⊥AC于H．②如圖4中，當點M在CQ上時，作PH⊥AC于H．分別構建方程求解即可；

（1）如圖1中，作BE⊥AC于E．

∵S△ABC=ACBE=，

∴BE=，

在Rt△ABE中，AE=，

∴coaA=．

（2）如圖2中，作PH⊥AC于H．

∵PA=5t，PH=3t，AH=4t，HQ=AC-AH-CQ=9-9t，

∴PQ2=PH2+HQ2=9t2+（9-9t）2，

∵S△PQM=S△QCN，

∴PQ2=CQ2，

∴9t2+（9-9t）2=×（5t）2，

整理得：5t2-18t+9=0，

解得t=3（舍棄）或．

∴當t=時，滿足S△PQM=S△QCN．

（3）①如圖3中，當點M落在QN上時，作PH⊥AC于H．

易知：PM∥AC，

∴∠MPQ=∠PQH=60°，

∴PH=HQ，

∴3t=（9-9t），

∴t=．

②如圖4中，當點M在CQ上時，作PH⊥AC于H．

同法可得PH=QH，

∴3t=（9t-9），

∴t=，

綜上所述，當t=s或s時，△PQM的某個頂點（Q點除外）落在△QCN的邊上．