Question

【題目】如圖，直線y=﹣x+分別與x軸、y軸交于B，C兩點，點A在x軸上，∠ACB=90°，拋物線y=ax2+bx+經過A，B兩點，A點坐標為（﹣1，0）．

（1）求B、C兩點的坐標；

（2）求拋物線的解析式；

（3）點M是直線BC上方拋物線上的一點，過點M作MH⊥BC于點H，作MD∥y軸交BC于點D，求△DMH周長的最大值．

Answer 1

【答案】（1）B（3，0），C（0， ）；（2）y=﹣x2+x+；（3）

【解析】試題分析：（1）分別令x,y得零，求坐標.(2)利用待定系數法求二次函數解析式.(3)建立△DMH二次函數關系，求最值即可.

試題解析：

（1）∵直線y=﹣x+分別與x軸、y軸交于B、C兩點，

∴B（3，0），C（0， ）；

（2）∵拋物線y=ax2+bx+經過A，B兩點，

∴,

解得．

∴拋物線解析式為y=﹣x2+x+

（3）∵B（3，0），C（0， ）；

∴OB=3，OC=，

∴tan∠BCO=，

∴∠BCO=60°，

∵MD∥y軸，MH⊥BC，

∴∠MDH=∠BCO=60°，則∠DMH=30°，

∴DH=DM，MH=DM，

∴△DMH的周長=DM+DH+MH=DM+DM+DM=DM，

∴當DM有最大值時，其周長有最大值，

∵點M是直線BC上方拋物線上的一點，

∴可設M（t，﹣ t2+t+），則D（t，﹣t+），

∴DM=﹣t2+t+﹣（﹣t+）=﹣（t﹣）2+，

∴當t=時，DM有最大值，最大值為，

此時DM=，

即△DMH周長的最大值為．