Question

【題目】如圖1，在四邊形ABCD中，∠DAB被對角線AC平分，且AC2＝ABAD，我們稱該四邊形為“可分四邊形”，∠DAB稱為“可分角”．

（1）如圖2，四邊形ABCD為“可分四邊形”，∠DAB為“可分角”，求證：△DAC∽△CAB．

（2）如圖2，四邊形ABCD為“可分四邊形”，∠DAB為“可分角”，如果∠DCB＝∠DAB，則∠DAB＝ °

（3）現有四邊形ABCD為“可分四邊形”，∠DAB為“可分角”，且AC＝4，BC＝2，∠D＝90°，求AD的長.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）120°；（3）

【解析】

（1）先判斷出，即可得出結論；
（2）由已知條件可證得△ADC∽△ACB，得出D=∠4，再由已知條件和三角形內角和定理得出∠1+2∠1=180°，求出∠1=60°，即可得出∠DAB的度數；
（3）由已知得出AC2=ABAD，∠DAC=∠CAB，證出△ADC∽△ACB，得出∠D=∠ACB=90°，由勾股定理求出AB，即可得出AD的長．

（1）證明：∵四邊形ABCD為“可分四邊形”，∠DAB為“可分角”，

∴AC2＝ABAD，

∴，

∵∠DAB為“可分角”，

∴∠CAD＝∠BAC，

∴△DAC∽△CAB；

（2）解：如圖所示：

∵AC平分∠DAB，

∴∠1＝∠2，

∵AC2＝ABAD，

∴AD：AC＝AC：AB，

∴△ADC∽△ACB，

∴∠D＝∠4，

∵∠DCB＝∠DAB，

∴∠DCB＝∠3+∠4＝2∠1，

∵∠1+∠D+∠3＝∠1+∠4+∠3＝180°，

∴∠1+2∠1＝180°，

解得：∠1＝60°，

∴∠DAB＝120°；

故答案為：120；

（3）解：∵四邊形ABCD為“可分四邊形”，∠DAB為“可分角”，

∴AC2＝ABAD，∠DAC＝∠CAB，

∴AD：AC＝AC：AB，

∴△ADC∽△ACB，

∴∠D＝∠ACB＝90°，

∴AB＝，

∴AD＝ .

故答案為.