Question

【題目】如圖1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四邊形ADEF是正方形，點B．C分別在邊AD、AF上，此時BD=CF，BD⊥CF成立．

（1）當△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)θ（0°＜θ＜90°）時，如圖2，BD=CF成立嗎？若成立，請證明，若不成立，請說明理由．
（2）當△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°時，如圖3，延長BD交CF于點H．
①探究BD與CF之間的位置關(guān)系，并說明理由；
②當AB= ，AD= +1時，求線段DH的長．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖2中，BD=CF成立．

理由：由旋轉(zhuǎn)得：AC=AB，∠CAF=∠BAD=θ；AF=AD，

在△ABD和△ACF中， ，

∴△ABD≌△ACF，

∴BD=CF

（2）

①證明：如圖3中，

由（1）得，△ABD≌△ACF，

∴∠HFN=∠ADN，

∵∠HNF=∠AND，∠AND+∠AND=90°

∴∠HFN+∠HNF=90°

∴∠NHF=90°，

∴HD⊥HF，即BD⊥CF．

②如圖4中，連接DF，延長AB，與DF交于點M．

∵四邊形ADEF是正方形，

∴∠MDA=45°，

∵∠MAD=45°

∴∠MAD=∠MDA，∠AMD=90°，

∴AM=DM，

∵AD= +1，

在△MAD中，AM2+DM2=AD2，

∴AM=DM= ，

∴MB=AM﹣AB= ﹣ = ，

在Rt△BMD中，BM2+DM2=BD2，

∴BD= =2．

在Rt△ADF中，AD= +1，

∴DF= AD= + ，

由②知，HD⊥HF，

∴∠DHF=∠DMB=90°，

∵∠BDM=∠FDH，

∴△BDM∽△FDH，

∴ ，

∴DH= = =2+

【解析】（1）結(jié)論：BD=CF．只要證明△ABD≌△ACF即可．（2）①在利用“8字型”證明∠FHN=∠DAN=90°，即可解決問題．②如圖4中，連接DF，延長AB，與DF交于點M．在Rt△ADM中，求出BM、DM，再利用勾股定理即可解決問題．
【考點精析】掌握勾股定理的概念是解答本題的根本，需要知道直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．