Question

（2013•宜昌模擬）菱形ABCD中，∠BAD是銳角，AC，BD相交于點O，E是BD的延長線上一動點（不與點D重合），連接EC并延長和AB的延長線交于點F，連接AE．
（1）比較∠F和∠ABD的大小，并說明理由；
（2）當△BFC有一個內角是直角時，求證：△BFC∽△EFA；
（3）當△BFC與△EFA相似（兩三角形的公共角為對應角），且AC=12，DE=5時，求△BFC與△EFA的相似比．

Answer 1

分析：（1）根據三角形外角的性質可作出判斷；
（2）推出這個直角為∠BCF，然后證明△△ABE≌△CBE，得出∠FCB=∠FAE=90°，即可證明結論．
（3）根據（2）可得∠BAE=∠BCF=∠BCE=90°，∠FBC=∠AEF，證明△OAD∽△OEA，得出AO²=OD×OE，設OD=x，解出x的值，繼而可得出相似比．

解答：解：（1）∵∠ABD為△BFE的一個外角，
∴∠ABD＞∠F；

（2）∵四邊形ABCD是菱形，
∴BC∥AD，∠ABD=

1

2

∠ABC，
∴∠BAD=∠FBC，∠BAD+∠ABC=180°
又∵∠BAD為銳角，
∴∠FBC為銳角，∠ABC為鈍角，
∴∠ABD為銳角，
由（1）得：∠F也為銳角，
又∵△BFC有一個角是直角，
∴∠BCF為直角，
∵在△ABE和△CBE中，

BA=BC ∠ABE=∠CBE BE=BE

∴△ABE≌△CBE，
∴∠BAE=∠BCE=90°，
∴∠FCB=∠FAE=90°，
∴△BFC∽△EFA．

（3）當△BFC與△EFA相似（兩三角形的公共角為對應角）時
∵∠BCE為△BFC的外角，
∴∠BCE＞∠FBC，∠BCE＞∠F，
∴∠BAE=∠BCF=∠BCE=90°，∠FBC=∠AEF，
∴∠OAD=∠OEA
∴△OAD∽△OEA，
∴AO²=OD×OE，
設OD=x，列方程得：36=x（x+5），
解得：x=4，
∴BC：AE=AD：AE=AO：OE=2：3．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，解答本題的關鍵一步在于得出若△BFC與△EFA相似，則∠BCF=∠BAE=90°，有一定難度．