Question

已知關(guān)于x一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
（1）求k取值范圍；
（2）當(dāng)k最小的整數(shù)時(shí)，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)以及它與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）將（2）中求得的拋物線在x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，圖象的其余部分不變，得到一個(gè)新圖象．請(qǐng)你畫(huà)出這個(gè)新圖象，并求出新圖象與直線有三個(gè)不同公共點(diǎn)時(shí)m值．

Answer 1

（1）k＞-1；（2）（1，-4）；（-1，0），（3，0）；（3）畫(huà)圖見(jiàn)解析，1或．

解析試題分析：（1）根據(jù)一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，可知根的判別式△＞0，即可求出k的取值范圍.
（2）根據(jù)k的取值范圍可得當(dāng)k=0時(shí)，為k最小的整數(shù)，進(jìn)而可求出頂點(diǎn)坐標(biāo)以及它與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo).
（3）由（2）畫(huà)出此函數(shù)圖象后，可發(fā)現(xiàn)，若直線與新函數(shù)有3個(gè)交點(diǎn)，可以有兩種情況：
①直線經(jīng)過(guò)原二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)A（即左邊的交點(diǎn)），可將A點(diǎn)坐標(biāo)代入直線的解析式中，即可求出m的值；
②原二次函數(shù)圖象x軸以下部分翻折后，所得部分圖象仍是二次函數(shù)，該二次函數(shù)與原函數(shù)開(kāi)口方向相反、對(duì)稱軸相同、與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)相同，可據(jù)此判斷出該函數(shù)的解析式，若直線與新函數(shù)圖象有三個(gè)交點(diǎn)，那么當(dāng)直線與該二次函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，恰好滿足這一條件，那么聯(lián)立直線與該二次函數(shù)的解析式，可化為一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，那么該方程的判別式△=0，根據(jù)這一條件可確定m的取值．
試題解析：（1）由題意，得，
∴k＞-1，
∴k的取值范圍為k＞-1.
（2）∵k＞-1，且k取最小的整數(shù)，∴k=0．
∴.
則拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-4）.
∵的圖象與x軸相交，
∴，∴解得：x=-1或3.
∴拋物線與x軸相交于A（-1，0），B（3，0）；
（3）翻折后所得新圖象如圖所示．

平移直線y=x+m知：直線位于l1和l2時(shí)，它與新圖象有三個(gè)不同的公共點(diǎn)．
①當(dāng)直線位于l₁時(shí)，此時(shí)l₁過(guò)點(diǎn)A（-1，0），
∴0=-1+m，即m=1．                   
②當(dāng)直線位于l₂時(shí)，此時(shí)l₂與函數(shù)的圖象有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴方程x+m=-x²+2x+3，即x²-x-3+m=0有兩個(gè)相等實(shí)根.
∴△=1-4（m-3）=0，即m=．
當(dāng)m=時(shí)，x₁=x₂=滿足-1≤x≤3，
由①②知m=1或m=．
考點(diǎn)：1.拋物線與x軸的交點(diǎn)；2.二次函數(shù)圖象與幾何變換；3.一元二次方程根的判別式；4.分類思想的應(yīng)用．