Question

12、在數學活動課上，小明提出這樣一個問題：∠B=∠C=90°，E是BC的中點，DE平分∠ADC，如圖，則下列說法正確的有幾個，大家一起熱烈地討論交流，小英第一個得出正確答案，是（　　）
（1）AE平分∠DAB；
（2）△EBA≌△DCE；
（3）AB+CD=AD；
（4）AE⊥DE；
（5）AB∥CD．

A、1個

B、2個

C、3個

D、4個

Answer 1

分析：此題可以通過作輔助線來得解，取AD的中點F，連接EF．根據平行線的性質可證得（1）（4）（5），根據梯形中位線定理可證得（3）正確．根據全等三角形全等的判定可證得（2）的正誤，即可得解．

解答：解：如圖：取AD的中點F，連接EF．
∵∠B=∠C=90°，
∴AB∥CD；[結論（5）]
∵E是BC的中點，F是AD的中點，
∴EF∥AB∥CD，2EF=AB+CD（梯形中位線定理）①；
∴∠CDE=∠DEF（兩直線平等，內錯角相等），
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE=∠FDE=∠DEF，
∴DF=EF；
∵F是AD的中點，∴DF=AF，
∴AF=DF=EF②，
由①得AF+DF=AB+CD，即AD=AB+CD；[結論（3）]
由②得∠FAE=∠FEA，
由AB∥EF可得∠EAB=∠FEA，
∴∠FAE=∠EAB，即EA平分∠DAB；[結論（1）]
由結論（1）和DE平分∠ADC，且DC∥AB，可得∠EDA+∠DAE=90°，則∠DEA=90°，即AE⊥DE；[結論（4）]．
由以上結論及三角形全等的判定方法，無法證明△EBA≌△DCE．
正確的結論有4個，故選D．

點評：本題考查了平行線的判定及性質、梯形中位線定理、等腰三角形的性質、全等三角形的判定等知識點，是一道難度較大的綜合題型．