Question

某縣種植了一種無公害蔬菜，為了擴大生產規模，該縣決定對這種蔬菜的種植實行政府補貼，規定每種植-畝這種蔬菜一次性補貼菜農若干元，隨著補貼數額的不斷增大，生產規模也不斷增加，但每畝蔬菜的收益會相應降低．經調查，種植畝數y（畝）、每畝蔬菜的收益z（元）與補貼數額x（元）之間的關系如下表：

x（元）	0	100	200	300	…
y（畝）	800	1600	2400	3200	…
z（元）	3000	2700	2400	2100	…

（1）分別求出政府補貼政策實施后種植畝數y、每畝蔬菜的收益z與政府補貼數額x之間的函數關系式；
（2）要使全縣這種蔬菜的總收益w（元）最大，政府應將每畝補貼數額x定為多少并求出總收益w的最大值和此時種植畝數；
（3）在取得最大收益的情況下，為了滿足市場需求，用不超過70畝的土地對這種蔬菜進行反季節的種植．為此需修建一些蔬菜大棚，修建大棚要用的支架、塑料膜等材料平均每畝的費用為650元，此外還要購置噴灌設備，這項費用（元）與大棚面積（畝）的平方成正比例，比例系數為25．這樣，修建大棚后的這部分土地每畝的平均收益比沒修前增加了2000元，在扣除修建費后總共增加了85000元．求修建了多少畝蔬菜大棚．（結果精確到個位，參考數據：

2

≈1.414）

Answer 1

（1）由表格知，y與x，z與x均成一次函數關系．（1分）
設y=kx+a，將（0，800）、（100，1600）代入：

a=800 100k+a=1600

，
解得

k=8 a=800

，
∴y=8x+800，（2分）
設z=k₁x+b，
將（0，3000）、（100，2700）代入：

b=3000 100k1+b=2700

，
解得

k1=-3 b=3000

．
∴z=-3x+3000；（3分）

（2）w=yz=（8x+800）（-3x+3000）=-24（x-450）²+7260000（6分）
∴當x=450時w取得最大值7260000，y=8×450+800=4400，（7分）
答：政府每畝補貼450元可獲得最大總收益7260000元，此時種植4400畝；

（3）設修建了m畝蔬菜大棚，原來每畝的平均收益為

7260000

4400

=1650元，
由題意得方程：（1650+2000）m-650m-25m²=85000（9分），
解得m₁=60+10

2

≈74，m₂=60-10

2

≈46，（10分）
∵0＜m≤70，
∴m≈46．（11分）
答：修建了46畝蔬菜大棚．