Question

【題目】如圖，在直角坐標系中，直線y＝﹣x+與x軸交于點A，與y＝﹣x相交于點B，點C是線段OB上一動點，連接AC，在AC上方取點D，使得cos∠CAD＝，且＝，連接OD，當點C從點O運動到點B時，線段OD掃過的面積為_____．

Answer 1

【答案】 ．

【解析】

首先說明：當點C與B重合時，點D位于D1，此時AD1＝，可知點D的運動軌跡是DD1，線段OD掃過的面積為△ODD1的面積；

解：∵直線y＝﹣x+與x軸交于點A，

∴A（7，0），

由 解得 ，

∴B（﹣9，12），

作BH⊥x軸于H，則BH＝12，OH＝9，AH＝16，

∴AB＝＝20，

∴cos∠BAO＝，

∵cos∠CAD＝，

∴∠BAO＝∠CAD，

當點C與O重合時，點D在線段AB上，

∵OA＝7，OA：AD＝7：5，

∴AD＝5，作DF⊥OA于F，

∴DF＝3，AF＝4，OF＝3，D（3，3），

當點C與B重合時，點D位于D1，此時AD1＝，可知點D的運動軌跡是DD1，線段OD掃過的面積為△ODD1的面積，

在AH上取一點E，使得AE＝BE，設AE＝BE＝x，

在Rt△BHE中，x2＝122+（16﹣x）2，

∴x＝ ，

∴BE＝AE＝，HE＝，作D1G⊥OA于G．

∵∠BAD1＝∠BAO，∠BAO＝∠EBA，

∴∠BEH＝∠GAD1，

∴△BHE∽△D1GA，

∴，

∴，

∴D1F＝，AG＝4，

∴OG＝3（點F與G重合），

∴D1（3，），∵D（3，3），

∴DD1∥y，

∴＝．

故答案是：．