Question

（本小題滿分12分）已知直角坐標系中菱形ABCD的位置如圖，C，D兩點的坐標分別為(4,0)，(0,3).現有兩動點P,Q分別從A,C同時出發，點P沿線段AD向終點D運動，點Q沿折線CBA向終點A運動，設運動時間為t秒.

【小題1】(1)填空：菱形ABCD的邊長是 ▲  、面積是
  ▲  、高BE的長是 ▲  ；
【小題2】(2)探究下列問題：
①若點P的速度為每秒1個單位，點Q的速度為每秒2個單位.當點Q在線段BA上時，求△APQ的面積S關于t的函數關系式，以及S的最大值；
②若點P的速度為每秒1個單位，點Q的速度變為每秒k個單位，在運動過程中,任何時刻都有相應的k值，使得△APQ沿它的一邊翻折，翻折前后兩個三角形組成的四邊形為菱形.請探究當t =" 4" 秒時的情形，并求出k的值.

Answer 1

【小題1】（1）5  , 24,
【小題2】（2）①由題意，得AP=t，AQ=10-2t.    …………………………………………1分
如圖1,過點Q作QG⊥AD，垂足為G，由QG∥BE得   
△AQG∽△ABE,∴,
∴QG=,…………………………1分
∴(≤t≤5).
……1分
∵(≤t≤5).
∴當t=時，S最大值為6.…………………1分
②要使△APQ沿它的一邊翻折，翻折前后的兩個三角形組
成的四邊形為菱形，根據軸對稱的性質，只需△APQ為等腰三角形即可.
當t=4秒時，∵點P的速度為每秒1個單位，∴AP=.………………1分
以下分兩種情況討論:
第一種情況：當點Q在CB上時, ∵PQ≥BE>PA，∴只存在點Q₁,使Q₁A=Q₁P.
如圖2,過點Q₁作Q₁M⊥AP，垂足為點M，Q₁M交 AC于點F,則AM=.
由△AMF∽△AOD∽△CQ₁F,得
, ∴,
∴. ………………1分
∴CQ₁==.則,
∴ .……………………………1分
第二種情況：當點Q在BA上時,存在兩點Q₂,Q₃,
分別使A P= AQ₂,PA=PQ₃.
①若AP=AQ₂，如圖3,CB+BQ₂=10-4=6.
則,∴.……1分  
②若PA=PQ₃，如圖4,過點P作PN⊥AB，垂足為N，
由△ANP∽△AEB,得.
∵AE= ,∴AN＝.
∴AQ₃=2AN=,  ∴BC+BQ₃=10-
則.∴.
………………………1分
綜上所述，當t= 4秒，以所得的等腰三角形APQ
沿底邊翻折，翻折后得到菱形的k值為或或.

解析