Question

（2008•哈爾濱）如圖，在平面直角坐標系中，直線y=與x軸、y軸分別交于A、B兩點，將△ABO繞原點O順時針旋轉得到△A′B′O，并使OA′⊥AB，垂足為D，直線AB與線段A´B´相交于點G．動點E從原點O出發，以1個單位/秒的速度沿x軸正方向運動，設動點E運動的時間為t秒．
（1）求點D的坐標；
（2）連接DE，當DE與線段OB′相交，交點為F，且四邊形DFB′G是平行四邊形時，（如圖2）求此時線段DE所在的直線的解析式；
（3）若以動點為E圓心，以為半徑作⊙E，連接A′E，t為何值時，Tan∠EA′B′=？并判斷此時直線A′O與⊙E的位置關系，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：現根據直線y=與x軸、y軸分別交于A、B兩點，求出A、B兩點的坐標，進而再求出OD的長度；然后根據需要作出恰當的輔助線，再結合題意對題目進行分析．
解答：解：（1）由題意知A（，0）B（0，），
∴OA=，OB=，
∴AB==5，
∵OD⊥AB，
∴OA•OB=AB•OD，
∴OD==2．
過點D作DH⊥x軸于點H．（如圖1）
∵∠BAO+∠ADH=∠ODH+∠ADH=90°，
∴∠ODH=∠BAO，
∴tan∠ODH=tan∠BAO=，
∴DH=2OH．
設OH=a，則DH=2a．
∴a²+4a²=4，
∴a=．
∴OH=，DH=．
∴D（-，）；

（2）設DE與y軸交于點M．（如圖2）
∵四邊形DFB′G是平行四邊形，
∴DF∥B′G，
∴∠1=∠A′．
又∵∠AOD+∠2=∠AOD+∠OAD=90°，
∴∠BAO=∠2．
∵∠BAO=∠A′，
∴∠1=∠2，
∴DM=OM．（1分）
∵∠3+∠1=90°，∠4+∠2=90°，
∴∠3=∠4，
∴BM=DM，
∴BM=OM，
∴點M是OB中點，
∴M（0，）．
設線段DE所在直線解析式為y=kx+b．
把M（0，）D（，）代入y=kx+b，
得，解得．
∴線段DE所在直線的解析式為；

（3）設直線A′B′交x軸于點N，（如圖3）過點A′作A′K⊥x軸于點K．
∵∠AOD=∠A′OK，∠ADO=∠A′KO=90°，OA=OA′=，
∴△AOD≌△A′OK，
∴OK=2，
∴A′K=4，
∴A′（-2，4）．
過點B′作B′T⊥y軸于點T，同理△OBD≌△B′OT，
∴B′（2，1）．
設直線A’B’的解析式為y=k₁x+b₁．
則，解得．
∴直線A′B′的解析式為．
∴N（，0），
∴KN=，
∴A’N==．
當E點在N點左側點E₁位置時，過點E₁作E₁Q₁⊥A’N于點Q₁．
∵tan∠A’NK==，
∴設E₁Q₁=3m，則Q₁N=4m．
又∵tan∠E₁A’B’=，
∴A’Q₁=24m，
∴28m=，
∴m=，
∴E₁N=，
∴OE₁=ON-E₁N=，此時t=．
過點E₁作E₁S₁⊥A’O于點S₁．
∵sin∠E₁OS₁=sin∠A′OK，
∴，
∴E₁S₁=．
∵⊙E的半徑為，而，
∴⊙E₁與直線A’O相交．
當E點在N點右側點E₂位置時，
過點E₂作E₂Q₂⊥A′N于點Q₂．
同理OE₂=5，此時t=5．
過點E₂作E₂S₂⊥A′O于點S₂．
同理E₂S₂==．
∵⊙E的半徑為，
∴⊙E₂與直線A′O相切．
∴當t=或t=5時，tan∠EA′B′=；
當t=時直線A′O與⊙E相交，當t=5時直線A′O與⊙E相切．
點評：解決較復雜的幾何問題，作出合適的輔助線是解決問題的一個關鍵，同時要熟記一些定理或推論．