Question

【題目】已知拋物線y=ax2﹣4a（a＞0）與x軸相交于A，B兩點（點A在點B的左側），點P是拋物線上一點，且PB=AB，∠PBA=120°，如圖所示．

（1）求拋物線的解析式．
（2）設點M（m，n）為拋物線上的一個動點，且在曲線PA上移動．
①當點M在曲線PB之間（含端點）移動時，是否存在點M使△APM的面積為 ？若存在，求點M的坐標；若不存在，請說明理由．
②當點M在曲線BA之間（含端點）移動時，求|m|+|n|的最大值及取得最大值時點M的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1

，

令y=0代入y=ax2﹣4a，

∴0=ax2﹣4a，

∵a＞0，

∴x2﹣4=0，

∴x=±2，

∴A（﹣2，0），B（2，0），

∴AB=4，

過點P作PC⊥x軸于點C，

∴∠PBC=180°﹣∠PBA=60°，

∵PB=AB=4，

∴cos∠PBC= ，

∴BC=2，

由勾股定理可求得：PC=2 ，

∵OC=OC+BC=4，

∴P（4，2 ），

把P（4，2 ）代入y=ax2﹣4a，

∴2 =16a﹣4a，

∴a= ，

∴拋物線解析式為；y= x2﹣

（2）

解：∵點M在拋物線上，

∴n= m2﹣ ，

∴M的坐標為（m， m2﹣ ），

①當點M在曲線PB之間（含端點）移動時，

∴2≤m≤4，

如圖2，

過點M作ME⊥x軸于點E，交AP于點D，

設直線AP的解析式為y=kx+b，

把A（﹣2，0）與P（4，2 ）代入y=kx+b，

得： ，

解得

∴直線AP的解析式為：y= x+ ，

令x=m代入y= x+ ，

∴y= m+ ，

∴D的坐標為（m， m+ ），

∴DM=（ m+ ）﹣（ m2﹣ ）=﹣ m2+ m+ ，

∴S△APM= DMAE+ DMCE

= DM（AE+CE）

= DMAC

=﹣ m2+ m+4

當S△APM= 時，

∴ =﹣ m2+ m+4 ，

∴解得m=3或m=﹣1，

∵2≤m≤4，

∴m=3，

此時，M的坐標為（3， ）；

②當點M在曲線BA之間（含端點）移動時，

∴﹣2≤m≤2，n＜0，

當﹣2≤m≤0時，

∴|m|+|n|=﹣m﹣n=﹣ m2﹣m+ =﹣ （m+ ）2+ ，

當m=﹣ 時，

∴|m|+|n|可取得最大值，最大值為 ，

此時，M的坐標為（﹣ ，﹣ ），

當0＜m≤2時，

∴|m|+|n|=m﹣n=﹣ m2+m+ =﹣ （m﹣ ）2+ ，

當m= 時，

∴|m|+|n|可取得最大值，最大值為 ，

此時，M的坐標為（ ，﹣ ），

綜上所述，當點M在曲線BA之間（含端點）移動時，M的坐標為（ ，﹣ ）或（﹣ ，﹣ ）時，|m|+|n|的最大值為 ．

【解析】（1）先求出A、B兩點坐標，然后過點P作PC⊥x軸于點C，根據∠PBA=120°，PB=AB，分別求出BC和PC的長度即可得出點P的坐標，最后將點P的坐標代入二次函數解析式即；（2）①過點M作ME⊥x軸于點E，交AP于點D，分別用含m的式子表示點D、M的坐標，然后代入△APM的面積公式 DMAC，根據題意列出方程求出m的值；
②根據題意可知：n＜0，然后對m的值進行分類討論，當﹣2≤m≤0時，|m|=﹣m；當0＜m≤2時，|m|=m，列出函數關系式即可求得|m|+|n|的最大值．本題考查二次函數的綜合問題，涉及待定系數法求二次函數解析式，三角形面積公式，二次函最值等知識，要注意將三角形分解成兩個三角形求解；還要注意求最大值可以借助于二次函數的性質．