Question

如圖，在直角坐標系中，點A坐標為（1，0），點B坐標為（0，1），E、F是線段AB上的兩個動點，且∠EOF=45°，過點E、F分別作x軸和y軸的垂線CE、DF相交于點P，垂足分別為C、D、設P點的坐標為（x，y），令xy=k，
（1）求證：△AOF∽△BEO；
（2）當OC=OD時，求k的值；
（3）在點E、F運動過程中，點P也隨之運動，探索：k是否為定值？請證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）要證明△AOF∽△BEO，由題意可知OA=OB，∠AOB=90°，∴∠OAF=∠OBE=45°，看邊角關系，只要證∠AOF=∠BEO即可∠AOF=∠AOE+∠EOF，∠BEO=∠OAF+∠AOE；∵∠EOF=45°，∴∠AOF=∠BEO．問題得證．
（2）當OC=OD時，作OM⊥AB于M，OM=

1

2

AB=

2

2

，由OC=OD，OA=OB=1，可以得到CE=DF，又∠OCE=∠ODF，
∴△OCE≌△ODF，故有OF=OE，∠EOM=

1

2

∠EOF=22.5°，而∠COE=∠AOM-∠EOM=45°-22.5°=22.5°=∠EOM，
∴PC=PD=OC=

2

2

，k值可求．
（3）假設k的值為定值，即PC•PD=定值，作FK⊥OA于點K，EH⊥OB于點H，由△AOF∽△BEO得

AF

OB

=

OA

BE

，∴AF×BE=OA×OB=1，BE=

2

HE，AF=

2

FK，于是

2

HE×

2

FK=1，即HE×FK=

1

2

，PC×PD=EH×FK=

1

2

，問題可求．

解答：（1）證明：由題意得OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠OAF=∠OBE=45°；
又∵∠AOF=∠AOE+∠EOF，∠BEO=∠OAF+∠AOE；∠EOF=45°，
∴∠AOF=∠BEO，
∴△AOF∽△BEO．

（2）解：作OM⊥AB于M，則OM=

1

2

AB=

2

2

∵OC=OD，OA=OB=1，
∴CE=DF，
又∵∠OCE=∠ODF，
∴△OCE≌△ODF，
∴OF=OE，
∵∠EOM=

1

2

∠EOF=22.5°，又∠COE=∠AOM-∠EOM=45°-22.5°=22.5°=∠EOM
∴PC=PD=OC=

2

2

，
∴k=PC×PD=

1

2

．

（3）解：如圖，作FK⊥OA于點K，EH⊥OB于點H，
∵△AOF∽△BEO，
∴

AF

OB

=

OA

BE

，
∴AF×BE=OA×OB=1，
∵BE=

2

HE，AF=

2

FK，
∴

2

HE×

2

FK=1，即HE×FK=

1

2

，
∴PC×PD=EH×FK=

1

2

，
∴k的值為定值

1

2

．

點評：本題綜合運用了全等、相似三角形的判定和性質，及三角形的內外角關系等，來解題，綜合性強，屬能力拔高題．