Question

【題目】已知，AB為⊙O的直徑，C，D為⊙O上兩點，過點D的直線EF與⊙O相切，分別交BA，BC的延長線于點E，F，BF⊥EF

（I）如圖①，若∠ABC＝50°，求∠DBC的大小；

（Ⅱ）如圖②，若BC＝2，AB＝4，求DE的長．

Answer 1

【答案】（1）25°；（2）2．

【解析】

（1）如圖1，連接OD，BD，由EF與⊙O相切，得到OD⊥EF，由于BF⊥EF，得到OD∥BF，得到∠AOD＝∠ABC＝50°，由外角的性質得到結果；

（2）如圖2，連接AC，OD，根據AB為⊙O的直徑，得出∠ACB＝90°，由直角三角形的性質得到∠CAB＝30°，于是AC＝ABcos30°＝4×＝2，AH＝AOcos30°＝2×＝，根據三角形的中位線的性質解得結果．

解（1）如圖1，連接OD，BD，

∵EF與⊙O相切，

∴OD⊥EF，

∵BF⊥EF，

∴OD∥BF，

∴∠AOD＝∠ABC＝50°，

∵OD＝OB，

∴∠OBD＝∠ODB＝∠AOD＝25°

∴∠DBC＝∠OBC-∠OBD＝25°；

（2）如圖2，連接AC，OD，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∵BC＝2，AB＝4，

∴∠CAB＝30°，

∴AC＝ABcos30°＝4×＝2，

∵∠ODF＝∠F＝∠HCO＝90°，

∴∠DHC＝90°，

∴AH＝AOcos30°＝2×＝，

∵∠HAO＝30°，

∴OH＝OA＝OD，

∵AC∥EF，

∴DE＝2AH＝2．